Considere em Zn a operação
& odotn: Zn times Zn longrightarrow Zn &(bara, barb) & a b
em que . denota a multiplicação em Z.
Mostre que odotn está bem definida em Zn.

Passo 1

Resumindo o enunciado: em Zn definimos a operação
odotn : Zn times Zn to Zn, (a,b) mapsto a,b,
onde a é a classe de a módulo n. O conteúdo é teoria de classes de equivalência e operações bem-definidas em conjuntos quociente.

Passo 2

Para mostrar que odotn está bem definida, é preciso provar que o valor de a,b não depende dos representantes escolhidos. Explicitamente, se a=a' e b=b', deveremos ter
a,b=a',b'

Passo 3

A igualdade a=a' significa
aequiv a'pmodnLongrightarrow nmid(a-a')
Analogamente, b=b' implica
bequiv b'pmodnLongrightarrow nmid(b-b')
Queremos mostrar que então
nmid(a,b - a',b'),
isto é, a,bequiv a',b'pmodn.

Passo 4

Observe que
a,b - a',b' = (a - a'),b + a',(b - b')
Pela hipótese nmid(a-a'), o termo (a-a'),b é múltiplo de n. Do mesmo modo, nmid(b-b') faz a',(b-b') também múltiplo de n. Logo a soma é múltiplo de n, ou seja
nmid(a,b - a',b') Longrightarrow a,b = a',b'

Resposta

A operação odotn está bem definida porque, sempre que a=a' e b=b', segue a,b=a',b', ou seja, o resultado independe dos representantes escolhidos.

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