Sejam
um grupo e
tal que
, mas
e
. Seja
.
Mostre que
se, e somente se,
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado diz que
é um grupo e que
tem ordem exatamente 3, ou seja,
Definimos o subgrupo cíclico
Queremos mostrar que, para quaisquer inteiros
,
Vamos usar o fato de que a ordem de
é 3, isto é, 3 é o menor inteiro positivo com
.
Passo 2
Suponha primeiro que
Então existe
tal que
. Daí
logo
.
Passo 3
Agora suponha que
Multiplicando à direita por
, obtemos
Como a ordem de
é 3, isso só ocorre se
for múltiplo de 3, ou seja,