Sejam G um grupo e a in G tal que a^3=e, mas a neq e e a^2 neq e. Seja H=a^n, n in Z.
Mostre que a^m=a^n se, e somente se, m equiv n bmod 3.

Passo 1

O enunciado diz que G é um grupo e que ain G tem ordem exatamente 3, ou seja,
a^3 = e, aneq e, a^2neq e
Definimos o subgrupo cíclico
H = a^nmid ninZ
Queremos mostrar que, para quaisquer inteiros m,n,
a^m = a^n Long<=ftrightarrow mequiv npmod3
Vamos usar o fato de que a ordem de a é 3, isto é, 3 é o menor inteiro positivo com a^3=e.

Passo 2

Suponha primeiro que
mequiv npmod3
Então existe kinZ tal que m = n + 3k. Daí
a^m = a^n+3k = a^n cdot (a^3)^k = a^n cdot e^k = a^n,
logo a^m = a^n.

Passo 3

Agora suponha que
a^m = a^n
Multiplicando à direita por (a^n)^-1, obtemos
a^m,(a^n)^-1 = e Longrightarrow a^m-n = e
Como a ordem de a é 3, isso só ocorre se m-n for múltiplo de 3, ou seja,
m-n = 3k Longrightarrow mequiv npmod3

Resposta

a^m = a^n se, e somente se, mequiv npmod3.

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