Considere em Zn a operação
& odotn: Zn times Zn longrightarrow Zn &(bara, barb) & a b
em que . denota a multiplicação em Z.
Mostre que, para n>1,(Zn, odotn) não é um grupo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para n>1, o conjunto Zn=bar 0,bar1,dots,n-1 com a operação
odotn:ZntimesZntoZn,(bar a,bar b)mapstoacdot b
não satisfaz todos os axiomas de grupo. Vamos verificar os quatro axiomas: fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos.

Passo 2

Fechamento e associatividade são herdados da multiplicação em Z. De fato, se bar a,bar binZn, então
bar aodotnbar b=acdot binZn,
logo há fechamento. E como a multiplicação inteira é associativa, para quaisquer bar a,bar b,bar c vale
(bar aodotnbar b)odotnbar c =(acdot b)cdot c =acdot(bcdot c) =bar aodotn(bar bodotnbar c)

Passo 3

O elemento bar1 é neutro, pois para todo bar a temos
bar1odotnbar a=1cdot a=bar a e bar aodotnbar1=acdot1=bar a

Passo 4

Para ser grupo, cada elemento bar a precisaria ter um inverso bar b tal que
bar aodotnbar b=bar1
Mas nem todo bar a admite inverso em Zn. Por exemplo, bar0 falha: não existe bar b com
bar0odotnbar b=0cdot b=bar0=bar1,
impossível pois bar0neqbar1. Mais genericamente, se gcd(a,n)>1, então não há b inteiro com a,bequiv1pmod n. Logo esses bar a não têm inverso.

Resposta

(Zn,odotn) não é grupo porque nem todo elemento (por exemplo bar0) possui inverso.

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