em que . denota a multiplicação em .
Seja . Mostre que
e que é um grupo.
Passo 1
O enunciado trabalha em com a operação
e define
Zn^times=bar ainZnmidgcd(a,n)=1
Precisamos mostrar duas coisas: 1) Zn^times=bar ainZnmidexists,bar c com bar aodotnbar c=1. 2) (Zn^times,odotn) satisfaz os axiomas de grupo.
Passo 2
Prova da equivalência entre gcd(a,n)=1 e a existência de inverso de bar a em Zn. (Rightarrow) Se gcd(a,n)=1, pelo Teorema de Bézout existem inteiros x,y tais que
ax+ny=1
Tomando bar c=x em Zn, obtemos
bar aodotnbar c=a,x=1-ny=1
Logo bar a tem inverso bar c. (Leftarrow) Se existe bar c com bar aodotnbar c=1, então
acequiv1pmod n
ou seja, ac - 1 = nk para algum kinZ. Qualquer divisor comum d de a e n dividiria ac-1, logo dmid1, implicando d=1. Assim gcd(a,n)=1.
Passo 3
Fechamento de Zn^times sob odotn.
Se bar a,bar binZn^times, então gcd(a,n)=gcd(b,n)=1. Mas
gcd(ab,n)=1,
pois qualquer divisor comum de ab e n deve dividir a (ou b), e assim só pode ser 1. Portanto a,binZn^times.
Passo 4
Verificação dos demais axiomas de grupo em (Zn^times,odotn):
– Associatividade: herdada da multiplicação em Z, pois
(bar aodotnbar b)odotnbar c =(a b)c =a(bc) =bar aodotn(bar bodotnbar c)
– Elemento neutro: 1 satisfaz bar aodotn1=acdot1=bar a.
– Inversos: já mostramos que todo bar a com gcd(a,n)=1 tem bar c tal que bar aodotnbar c=1.