Sejam G um grupo e a in G tal que a^3=e, mas a neq e e a^2 neq e. Seja H=a^n, n in Z.
Mostre que a^m=e se, e somente se, m equiv 0 bmod 3.

Passo 1

O enunciado diz que G é um grupo e que existe ain G tal que
a^3=e, aneqe, a^2neqe
Logo, a ordem de a é 3. Definimos o subgrupo cíclico
H=a^nmid ninZ
Precisamos mostrar que
a^m=ese, e somente se, mequiv 0bmod 3
Para isso, usaremos o algoritmo da divisão para inteiros e a definição de ordem de um elemento.

Passo 2

Pelo algoritmo da divisão, para qualquer minZ existem únicos qinZ e rin0,1,2 tais que
m=3q+r
Aplicando isto ao expoente em a^m, obtemos
a^m=a^3q+r=a^3q,a^r

Passo 3

Como a^3=e, temos (a^3)^q=e^,q=e. Assim
a^m=a^3q+r=(a^3)^qa^r=e,a^r=a^r
Portanto
a^m=eLong<=ftrightarrow a^r=e
Mas a ordem de a é 3, logo os únicos rin0,1,2 com a^r=e são r=0.

Passo 4

Concluímos que a^m=e se, e somente se, o resto r da divisão de m por 3 é zero. Isto significa exatamente que 3 divide m, ou seja,
mequiv 0bmod 3

Resposta

a^m=ese, e somente se, mequiv 0bmod 3

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