Sejam
um grupo e
tal que
, mas
e
. Seja
.
Mostre que
se, e somente se,
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado diz que
é um grupo e que existe
tal que
Logo, a ordem de
é 3. Definimos o subgrupo cíclico
Precisamos mostrar que
Para isso, usaremos o algoritmo da divisão para inteiros e a definição de ordem de um elemento.
Passo 2
Pelo algoritmo da divisão, para qualquer
existem únicos
e
tais que
Aplicando isto ao expoente em
, obtemos
Passo 3
Como
, temos
. Assim
Portanto
Mas a ordem de
é 3, logo os únicos
com
são
.
Passo 4
Concluímos que
se, e somente se, o resto
da divisão de
por 3 é zero. Isto significa exatamente que
divide
, ou seja,