Encontre os alto valores, os auto-espaços associados, calcule as multiplicidades algébrica e geométrica, em seguida conclua quais das seguintes transformações lineares são diagonalizáveis.
T: P2(R) longrightarrow P2(R), T(p(x))=(1+x) p^prime(x)+p^prime prime(x) ;( (Francisco Josue )

Passo 1

O enunciado define o operador linear
Tcolon P2(R)toP2(R), Tl(p(x)r)=(1+x)p'(x)+p''(x),
e pede: valores próprios (autovalores), autoespaços, multiplicidades algébrica e geométrica, e se T é diagonalizável. Vamos usar a base canônica 1,x,x^2 de P2(R).

Passo 2

Em 1,x,x^2, para p(x)=a+bx+cx^2 temos
p'(x)=b+2c,x, p''(x)=2c
Assim
T(p)=(1+x)(b+2c,x)+2c =(b+2c)+(b+2c)x+2c,x^2
Logo
T(1)=0, T(x)=1+x, T(x^2)=2+2x+2x^2
e a matriz de T nessa base é
A= 0 & 1 & 2 0 & 1 & 2 0 & 0 & 2

Passo 3

O polinômio característico é
det(A-lambda I) =det -lambda & 1 & 2 0 & 1-lambda & 2 0 & 0 & 2-lambda =(-lambda)(1-lambda)(2-lambda)
Daí os autovalores são
lambda1=0, lambda2=1, lambda3=2,
cada um com multiplicidade algébrica igual a 1.

Passo 4

Para resolvemos :
então
Para resolvemos :
então
Para resolvemos :
então

Passo 5

Cada autovalor tem multiplicidade geométrica 1 e
dim E0+dim E1+dim E2=1+1+1=3=dimP2(R).
Logo existe uma base de P2(R) formada por autovetores de T, isto é, T é diagonalizável.

Resposta

A transformação T é diagonalizável.

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