Considere V=R^2 com as operações definidas em (i) e (ii) abaixo.
(ii) Para quaisquer (x1, y1),(x2, y2) in R^2 e alpha in R:(x1, y1)+(x2, y2)=(x1+x2, y1+y2) e alpha(x, y)= (alpha x, 0). Encontre uma condição da definição de esp. vet. que falha e dê um exemplo numérico para verificar que falha tal condição.

Passo 1

O enunciado define em V=R^2 a soma usual
(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,;y1+y2)
e a multiplicação por escalar
alpha,(x,y)=(alpha x,;0)
Queremos ver qual axioma de espaço vetorial falha com essa definição.

Passo 2

Antes de tudo, confira que (V,+) é de fato um grupo abeliano:
  • Fechamento, associatividade e comutatividade vêm da soma em R^2.
  • Elemento neutro é (0,0) porque (x,y)+(0,0)=(x,y).
  • Inverso de (x,y) é (-x,-y) porque (x,y)+(-x,-y)=(0,0).
Logo a parte aditiva está ok.

Passo 3

Agora, a parte de multiplicação por escalar exige quatro propriedades. Três delas (associatividade alpha(beta v)=(alphabeta)v e as duas distributividades) podem ser verificadas e funcionam. Porém a propriedade
1cdot v = v
deve valer para todo vin V. Aqui
1,(x,y)=(1cdot x,;0)=(x,0),
que nem sempre é igual a (x,y). Por exemplo, para
v=(1,2)temos1,(1,2)=(1,0)neq(1,2)

Resposta

A condição que falha é o axioma de elemento neutro da multiplicação por escalar, ou seja,
1cdot v = v
Exemplo numérico: para v=(1,2), 1,(1,2)=(1,0)neq(1,2).

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