Considere
com as operações definidas em (i) e (ii) abaixo.
(ii) Para quaisquer
e
e
. Encontre uma condição da definição de esp. vet. que falha e dê um exemplo numérico para verificar que falha tal condição.
(ii) Para quaisquer
Passo 1
O enunciado define em
a soma usual
e a multiplicação por escalar
Queremos ver qual axioma de espaço vetorial falha com essa definição.
Passo 2
Antes de tudo, confira que
é de fato um grupo abeliano:
- Fechamento, associatividade e comutatividade vêm da soma em
. - Elemento neutro é
porque . - Inverso de
é porque .
Logo a parte aditiva está ok.
Passo 3
Agora, a parte de multiplicação por escalar exige quatro propriedades. Três delas (associatividade
e as duas distributividades) podem ser verificadas e funcionam. Porém a propriedade
deve valer para todo
. Aqui
que nem sempre é igual a
. Por exemplo, para
Resposta
A condição que falha é o axioma de elemento neutro da multiplicação por escalar, ou seja,
Exemplo numérico: para
,
.