Considere V=R^2 com as operações definidas em (i) e (ii) abaixo.
(i) Para quaisquer (x1, y1),(x2, y2) in R^2 e alpha in R : (x1, y1)+(x2, y2)=(2 x1-2 y1,-x1+y1) e alpha(x, y)=(3 alpha y,-alpha x).
Dentre as condições 1) a 4) da definição de esp. vet., dadas em aula, identifique uma que não vale com respeito à soma definida. Dentre as condições 5) a 8) da definição de esp. vet., dadas em aula, identifique uma que não vale com respeito à multiplicação por escalar real definida. Dê um exemplo numérico para cada uma delas, evidenciando que as mesmas falham.

Passo 1

O enunciado define em V=R^2 as operações
(x1,y1)+(x2,y2) = (2x1 - 2y1,,-x1 + y1),
alpha,(x,y) = (3alpha y,,-alpha x)
Peça 1: encontrar, dentre as condições 1)–4) (axiomas da soma), uma que falha.
Peça 2: encontrar, dentre as condições 5)–8) (axiomas da multiplicação escalar), uma que falha.
Para cada uma, dar um contraexemplo numérico que evidencia a falha.

Passo 2

A condição da soma que não vale é a comutatividade, isto é, não temos sempre
u+v = v+u
Aqui u+v depende apenas de u e v+u depende apenas de v, então em geral são diferentes.

Passo 3

Contraexemplo numérico para a comutatividade:
Seja u=(1,0) e v=(0,1).
u+v = (2cdot1 - 2cdot0,,-1 + 0) = (2,-1),
v+u = (2cdot0 - 2cdot1,,-0 + 1) = (-2,1)
Como (2,-1)neq(-2,1), a soma não é comutativa.

Passo 4

A condição da multiplicação escalar que não vale é a identidade escalar, isto é, não temos em geral
1cdot v = v

Passo 5

Contraexemplo numérico para a identidade escalar:
Escolha v=(1,1). Então
1cdot(1,1) = (3cdot1cdot1,,-1cdot1) = (3,-1),
que é diferente de (1,1). Portanto 1cdot vneq v.

Resposta

A soma falha no axioma da comutatividade (condição 2) e a multiplicação escalar falha no axioma da identidade escalar (1cdot v = v) (condição 8).

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