Considere
com as operações definidas em (i) e (ii) abaixo.
(i) Para quaisquer
e
:
e
.
Dentre as condições 1) a 4) da definição de esp. vet., dadas em aula, identifique uma que não vale com respeito à soma definida. Dentre as condições 5) a 8) da definição de esp. vet., dadas em aula, identifique uma que não vale com respeito à multiplicação por escalar real definida. Dê um exemplo numérico para cada uma delas, evidenciando que as mesmas falham.
(i) Para quaisquer
Dentre as condições 1) a 4) da definição de esp. vet., dadas em aula, identifique uma que não vale com respeito à soma definida. Dentre as condições 5) a 8) da definição de esp. vet., dadas em aula, identifique uma que não vale com respeito à multiplicação por escalar real definida. Dê um exemplo numérico para cada uma delas, evidenciando que as mesmas falham.
Passo 1
O enunciado define em
as operações
Peça 1: encontrar, dentre as condições 1)–4) (axiomas da soma), uma que falha.
Peça 2: encontrar, dentre as condições 5)–8) (axiomas da multiplicação escalar), uma que falha.
Para cada uma, dar um contraexemplo numérico que evidencia a falha.
Peça 2: encontrar, dentre as condições 5)–8) (axiomas da multiplicação escalar), uma que falha.
Para cada uma, dar um contraexemplo numérico que evidencia a falha.
Passo 2
A condição da soma que não vale é a comutatividade, isto é, não temos sempre
Aqui
depende apenas de
e
depende apenas de
, então em geral são diferentes.
Passo 3
Contraexemplo numérico para a comutatividade:
Seja e
.
Seja
Como
, a soma não é comutativa.
Passo 4
A condição da multiplicação escalar que não vale é a identidade escalar, isto é, não temos em geral
Passo 5
Contraexemplo numérico para a identidade escalar:
Escolha . Então
Escolha
que é diferente de
. Portanto
.
Resposta
A soma falha no axioma da comutatividade (condição 2) e a multiplicação escalar falha no axioma da identidade escalar
(condição 8).