Verifique, em cada caso, se os conjuntos dados são subespaços vetoriais:
, espaço de todos os polinômios reais de grau
, com as operações usuais, e
i.
;
i.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
, conjunto de todos os polinômios reais de grau
, e o subconjunto \r
. Precisamos verificar se
é um subespaço vetorial de
.
Passo 2
Recordando, um subconjunto não\mbox{-}vazio
de um espaço vetorial
é subespaço se, e somente se:
. o polinômio zero está em
;
.
é fechado sob adição: se
então
;
.
é fechado sob multiplicação escalar: se
e
então
.
Passo 3
Verificação do polinômio zero: o polinômio zero tem grau indefinido (ou
), logo
. Assim,
, falhando o primeiro requisito.
Passo 4
Verificação de fechamento sob adição: seja
e
. Ambas têm
, logo
. Mas
que é um polinômio constante de grau
, portanto
. Falha também o fechamento aditivo.
Passo 5
Verificação de fechamento sob multiplicação escalar: escolha o polinômio
e o escalar
. Então
o que é o polinômio zero e não pertence a
. Falha também o fechamento escalar.