Verifique, em cada caso, se os conjuntos dados são subespaços vetoriais:
V=P2(R), espaço de todos os polinômios reais de grau <= 2, com as operações usuais, e
i. S1=p in V mid grau(p)=1;

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V = P2(R), conjunto de todos os polinômios reais de grau <= 2, e o subconjunto \r
S1 = ,pin V mid deg(p)=1. Precisamos verificar se S1 é um subespaço vetorial de V.

Passo 2

Recordando, um subconjunto não\mbox{-}vazio W de um espaço vetorial V é subespaço se, e somente se:
1. o polinômio zero está em W;
2. W é fechado sob adição: se u,vin W então u+vin W;
3. W é fechado sob multiplicação escalar: se uin W e alphainR então alpha uin W.

Passo 3

Verificação do polinômio zero: o polinômio zero tem grau indefinido (ou -infty), logo deg(0)neq1. Assim,
0notin S1, falhando o primeiro requisito.

Passo 4

Verificação de fechamento sob adição: seja
p(x)=x e q(x)=-x+1. Ambas têm deg(p)=deg(q)=1, logo p,qin S1. Mas
(p+q)(x) = x +(-x+1) = 1,
que é um polinômio constante de grau 0, portanto p+qnotin S1. Falha também o fechamento aditivo.

Passo 5

Verificação de fechamento sob multiplicação escalar: escolha o polinômio p(x)=xin S1 e o escalar alpha=0. Então
alpha,p(x) = 0cdot x = 0,
o que é o polinômio zero e não pertence a S1. Falha também o fechamento escalar.

Resposta

S1 não é subespaço vetorial de V.

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