Considere o operador R^2 R^2 ; T(x, y)=(2 y, x+y), considerando B=(1,0),(0,1). A base canônica do R^2. Obtenha:
Os autovalores;

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Tcolon R^2 to R^2, T(x,y)=(2y,;x+y)
na base canônica B=(1,0),(0,1) e pede os autovalores. Para isso, vamos obter a matriz de T em B, montar o polinômio característico e encontrar suas raízes.

Passo 2

Calculamos a imagem dos vetores da base:
T(1,0) = (0,1), T(0,1) = (2,1)
Logo, a matriz de T na base canônica é
A = 0 & 2 1 & 1 ,
onde a primeira coluna é T(1,0) e a segunda é T(0,1).

Passo 3

O polinômio característico de A é dado por
detl(A - lambda Ir) = det -lambda & 2 1 & 1-lambda = (-lambda)(1-lambda) - 2 = lambda^2 - lambda - 2

Passo 4

Resolvendo
lambda^2 - lambda - 2 = 0
fatoramos
(lambda - 2)(lambda + 1) = 0
e obtemos as raízes
lambda = 2 e lambda = -1.

Resposta

Os autovalores são lambda1 = 2 e lambda2 = -1.

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