Considere o operador linear T sobre o R^3, definida por T(x, y, z)=(2 x+y, y-z, 2 y+4 z) B=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) a base canônica do R^3. Obtenha:
Os autovalores;

Passo 1

O enunciado define o operador linear Tcolon R^3toR^3 por
T(x,y,z) = (2x+y,;y-z,;2y+4z)
na base canônica B=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).
Queremos os autovalores de T, ou seja, as soluções de det(A-lambda I)=0, onde A é a matriz de T em B.

Passo 2

Vamos escrever a matriz A de T na base canônica. Como
T(x,y,z) = l(2x + 1cdot y + 0cdot z,;0cdot x + 1cdot y -1cdot z,;0cdot x +2cdot y +4cdot zr),
temos
A = 2 & 1 & 0 0 & 1 & -1 0 & 2 & 4

Passo 3

Formamos a matriz A - lambda I e calculamos seu determinante:
A - lambda I = 2-lambda & 1 & 0 0 & 1-lambda & -1 0 & 2 & 4-lambda
Como a primeira coluna (exceto a entrada (1,1)) é nula,
det(A-lambda I) = (2-lambda),det!1-lambda & -1[6pt]2 & 4-lambda ]

Passo 4

Calculamos o menor de ordem dois:
det! 1-lambda & -1 2 & 4-lambda = (1-lambda)(4-lambda) - (-1)cdot 2 = lambda^2 -5lambda +6
Logo
det(A-lambda I) = (2-lambda),(lambda^2 -5lambda +6) = (2-lambda)(lambda-2)(lambda-3)

Passo 5

As raízes do polinômio característico são
lambda = 2 (multiplicidade algébrica 2) e lambda = 3 (multiplicidade 1).

Resposta

Os autovalores de T são lambda=2 (dupla) e lambda=3.

Exercícios relacionados