Seja a transformação T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(-x-2 y+2 z, y, z). Encontre sua forma diagonal

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z)=(-x-2y+2z,;y,;z),
e pede sua forma diagonal.
Conteúdo: diagonalização de transformações lineares via autovalores e autovetores.

Passo 2

Na base canônica e1,e2,e3 a matriz de T é
A = -1 & -2 & 2 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Passo 3

Para achar os autovalores calculamos o polinômio característico
det(A-lambda I) =det -1-lambda & -2 & 2 0 & 1-lambda & 0 0 & 0 & 1-lambda =(-1-lambda),(1-lambda)^2
Logo os autovalores são
lambda1=-1 (multiplicidade algébrica 1) e lambda2=1 (multiplicidade algébrica 2).

Passo 4

Agora os autovetores:
Para resolvemos , i.e.
Um autovetor é .
Para resolvemos , i.e.
Dois geradores independentes são
e .

Passo 5

Os vetores v1,v2,v3 formam uma base de R^3. Na base B=v1,v2,v3 a matriz de T é diagonal, com os autovalores na diagonal.

Resposta

A forma diagonal de T em relação à base B é
diag(-1,;1,;1)

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