Seja a transformação
dada por
. Encontre sua forma diagonal
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
e pede sua forma diagonal.
Conteúdo: diagonalização de transformações lineares via autovalores e autovetores.
Conteúdo: diagonalização de transformações lineares via autovalores e autovetores.
Passo 2
Na base canônica
a matriz de
é
Passo 3
Para achar os autovalores calculamos o polinômio característico
Logo os autovalores são
lambda1=-1 (multiplicidade algébrica 1) e
lambda2=1 (multiplicidade algébrica 2).
Passo 4
Agora os autovetores:
Para
resolvemos
, i.e.
Um autovetor é
.
Para
resolvemos
, i.e.
Dois geradores independentes são
e
.
Passo 5
Os vetores
v1,v2,v3 formam uma base de
R^3 . Na base
B=v1,v2,v3 a matriz de
T é diagonal, com os autovalores na diagonal.
Resposta
A forma diagonal de
T em relação à base
B é