Considere o operador R^2 R^2 ; T(x, y)=(2 y, x+y), considerando B=(1,0),(0,1). A base canônica do R^2. Obtenha:
Os autovetores.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o operador T:R^2toR^2 definido por
T(x,y) = (2y,;x+y)
na base canônica B=(1,0),(0,1). Queremos encontrar os autovetores de T, para isso vamos escrever a matriz de T em B, achar seus autovalores com a equação característica e, em seguida, os subespaços próprios associados.

Passo 2

A matriz de T na base canônica vem das imagens de (1,0) e (0,1):
T(1,0) = (0,1), T(0,1) = (2,1)
Logo,
A = [T(1,0);;T(0,1)] = 0 & 2 1 & 1

Passo 3

Para achar os autovalores lambda, resolvemos
det(A - lambda I) = det! -lambda & 2 1 & 1-lambda = (-lambda)(1-lambda)-2 = lambda^2 - lambda - 2 =0
As raízes são
lambda = 1pmraiz1+82 ;Longrightarrow; lambda1 = 2,;lambda2 = -1

Passo 4

Para , resolvemos :
Assim, os autovetores associados a são todos múltiplos de

Passo 5

Para , resolvemos :
Logo, os autovetores associados a são todos múltiplos de

Resposta

Os autovalores e autovetores de T são:
lambda1=2 com autovetores ,alpha(1,1)midalphaneq0,
lambda2=-1 com autovetores ,beta(-2,1)midbetaneq0.

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