Considere o operador R^2 R^2 ; T(x, y)=(2 y, x+y), considerando B=(1,0),(0,1). A base canônica do R^2. Obtenha:
O polinômio característico;

Passo 1

O enunciado dá um operador linear
;TcolonR^2toR^2
definido por
T(x,y) = (2y,;x+y),
e pede o polinômio característico de T na base canônica B=(1,0),(0,1).
Conteúdo: representação matricial de um operador linear, cálculo de determinante e definição de polinômio característico
pT(lambda) = detl(A - lambda Ir)

Passo 2

Vamos achar a matriz de T na base canônica. Para isso, aplicamos T aos vetores de B:
T(1,0) = (0,,1), T(0,1) = (2,,1)
Assim, as colunas da matriz A são T(1,0) e T(0,1):
A = 0 & 2 [6pt] 1 & 1 ]

Passo 3

Formamos a matriz A - lambda I, onde I é a identidade 2times2:
A - lambda I = 0 & 2 [4pt] 1 & 1 - lambda & 0 [4pt] 0 & lambda = -lambda & 2 [4pt] 1 & 1-lambda ]

Passo 4

O polinômio característico é
pT(lambda) = detl(A - lambda Ir) = det! -lambda & 2 [4pt] 1 & 1-lambda
Calculando o determinante:
pT(lambda) = (-lambda),(1-lambda) ;-; 2cdot 1 = -lambda + lambda^2 - 2 = lambda^2 - lambda - 2 ]

Resposta

pT(lambda) = lambda^2 - lambda - 2

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