Seja a matriz A=(ccc-1 & 2 & 2 2 & 2 & -1 2 & -1 & 2), determine:
Os autovetores.

Passo 1

O enunciado pede os autovetores da matriz
A = -1 & 2 & 2 2 & 2 & -1 2 & -1 & 2
O conteúdo aqui é autovalores e autovetores: primeiro calculamos o polinômio característico det(A-lambda I)=0 para achar os autovalores lambda, e depois, para cada lambda, resolvemos (A-lambda I)x=0 para obter os autovetores.

Passo 2

Montamos o determinante
det(A-lambda I) =det -1-lambda & 2 & 2 2 & 2-lambda & -1 2 & -1 & 2-lambda
Fazendo expansão e organizando, chega-se a
det(A-lambda I) = -lambda^3 + 3lambda^2 + 9lambda -27
Colocando em evidência -1 obtemos
lambda^3 - 3lambda^2 - 9lambda +27 = 0

Passo 3

Fatoramos lambda^3 - 3lambda^2 - 9lambda +27. Testando lambda=3 vemos que é raiz, e dividindo por lambda-3 ficamos com
(lambda-3)(lambda^2 - 9)=0 Longrightarrow lambda = 3,;3,;-3
Logo os autovalores são lambda1=3 (multiplicidade 2) e lambda2=-3 (multiplicidade 1).

Passo 4

Para resolvemos
As equações são
Daí e . Um autovetor para é

Passo 5

Para resolvemos
As equações são
Da segunda vem , e a primeira fica redundante. Logo o espaço próprio é bidimensional, com parâmetro , . Dois vetores independentes que geram esse espaço são
ambos associados a .

Resposta

Autovetores de A:
Para lambda=-3:
(-2,,1,,1)^T
Para lambda=3: qualquer combinação linear de
(1,,2,,0)^T e (0,,-1,,1)^T

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