Seja a matriz A=(ccc-1 & 2 & 2 2 & 2 & -1 2 & -1 & 2), determine:
Os autovalores;

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = -1 & 2 & 2 2 & 2 & -1 2 & -1 & 2
e pede seus autovalores. Como A é simétrica, sabemos que todos os autovalores são reais e que podemos obtê-los resolvendo
det(A - lambda I) = 0

Passo 2

Observamos que a soma de cada linha de A é 3, pois por exemplo
(-1)+2+2 = 3, 2+2+(-1)=3, 2+(-1)+2=3
Logo o vetor (1,1,1) é autovetor associado a lambda=3, isto é, lambda=3 é um autovalor.

Passo 3

Para encontrar os demais autovalores, montamos o polinômio característico:
det(A - lambda I) = det -1-lambda & 2 & 2 2 & 2-lambda & -1 2 & -1 & 2-lambda
Fazendo a expansão por cofatores e simplificando, chega-se a
det(A - lambda I) = lambda^3 - 3lambda^2 - 9lambda + 27

Passo 4

Agora fatoramos o polinômio
lambda^3 - 3lambda^2 - 9lambda + 27 = 0
Testando lambda=3, vemos que é raiz. Fazendo a divisão por (lambda-3), obtemos
lambda^3 - 3lambda^2 - 9lambda + 27 = (lambda - 3)(lambda^2 - 9) = (lambda - 3)^2(lambda + 3)
Portanto as raízes são lambda=3 (multiplicidade 2) e lambda=-3.

Resposta

Os autovalores de A são
lambda1 = 3(mu<iplicidade 2), lambda2 = -3(mu<iplicidade 1)

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