Verifique se o operador linear , dado pela matriz: é diagonizável.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o operador linear Tcolon R^3toR^3, representado pela matriz
A = 3 & 0 & -4 0 & 3 & 5 0 & 0 & -1 ,
é diagonalizável. O conteúdo teórico necessário é o de autovalores e autovetores: uma matriz é diagonalizável quando, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica (dimensão do autespaço) coincide com a multiplicidade algébrica, e a soma dessas dimensões é igual a 3.
Passo 2
Como A é triangular superior, seus autovalores são as entradas da diagonal, com multiplicidades algébricas:
lambda1 = 3(ma=2), lambda2 = -1(ma=1)
Passo 3
Para lambda=3, resolvemos (A-3I)x=0.
A-3I = 0 & 0 & -4 0 & 0 & 5 0 & 0 & -4
As equações são
-4x3 = 0, 5x3 = 0,
logo x3=0 e x1,x2 são livres. Portanto o autespaço associado a lambda=3 tem dimensão 2, igual à multiplicidade algébrica.
Passo 4
Para lambda=-1, resolvemos (A+I)x=0.
A+I = 4 & 0 & -4 0 & 4 & 5 0 & 0 & 0
As equações são
4x1 - 4x3 = 0, 4x2 + 5x3 = 0,
isto é x1 = x3 e x2 = -tfrac54 x3, com x3 livre. Logo o autespaço de lambda=-1 tem dimensão 1, igual à sua multiplicidade algébrica.
Passo 5
Como para cada autovalor a multiplicidade geométrica coincide com a multiplicidade algébrica e suas somas dão 2+1=3, concluímos que A (e portanto T) é diagonalizável.