Seja P2 o espaço vetorial dos polinômios de coeficientes reais de grau menor ou igual a 2. Considere a transformaçãp linear T, de P2 em si mesmo, definida por
T[p(x)]=p(x+1)-p(x)
a) Indique, justificando, uma base para a imagem de T.
b) Determine o núcleo da transformação linear T , a sua dimensão e uma base.

Passo 1

Neste exercício vamos trabalhar no espaço vetorial P2 dos polinômios de até grau 2 e com a transformação T[p(x)] = p(x+1) - p(x). Precisamos encontrar a base da imagem de T e o núcleo de T, além de suas dimensões.

Passo 2

Para entender como T age, escolhemos a base canônica de P2, que é 1, x, x^2. Calculamos T[1] = 0, T[x] = 1 e T[x^2] = 2x + 1.

Passo 3

Com esses resultados vemos que a imagem de T é o subespaço gerado por 1, 2x+1. Como esses dois polinômios são linearmente independentes e têm grau até 1, a imagem coincide com P1. Podemos então escolher como base simplificada 1, x.

Passo 4

Para achar o núcleo, considere um polinômio geral p(x) = ax^2 + bx + c. Impondo T[p] = 0 para todo x, obtemos 2ax + (a + b) = 0. Comparando coeficientes surge o sistema 2a = 0 e a + b = 0, logo a = 0 e b = 0. Assim p(x) = c, ou seja, o núcleo é o espaço dos polinômios constantes, de dimensão 1 e base 1.

Resposta

Uma base para Im(T) é 1, x. O núcleo de T é o espaço dos polinômios constantes, tem dimensão 1 e base 1.

Exercícios relacionados