Seja
o espaço vetorial dos polinômios de coeficientes reais de grau menor ou igual a 2. Considere a transformaçãp linear T, de
em si mesmo, definida por
a) Indique, justificando, uma base para a imagem de
.
b) Determine o núcleo da transformação linear T , a sua dimensão e uma base.
b) Determine o núcleo da transformação linear T , a sua dimensão e uma base.
Passo 1
Neste exercício vamos trabalhar no espaço vetorial
dos polinômios de até grau 2 e com a transformação
. Precisamos encontrar a base da imagem de
e o núcleo de
, além de suas dimensões.
Passo 2
Para entender como
age, escolhemos a base canônica de
, que é
. Calculamos
,
e
.
Passo 3
Com esses resultados vemos que a imagem de
é o subespaço gerado por
. Como esses dois polinômios são linearmente independentes e têm grau até 1, a imagem coincide com
. Podemos então escolher como base simplificada
.
Passo 4
Para achar o núcleo, considere um polinômio geral
. Impondo
para todo
, obtemos
. Comparando coeficientes surge o sistema
e
, logo
e
. Assim
, ou seja, o núcleo é o espaço dos polinômios constantes, de dimensão 1 e base
.
Resposta
Uma base para
é
. O núcleo de
é o espaço dos polinômios constantes, tem dimensão 1 e base
.