Considere o operador derivação D: P2(R) longrightarrow P2(R) definido por D(p(x))=p^prime(x). Prove que D não admite autovalor não nulo.(Dica: argumente por contradição)

Passo 1

O enunciado nos dá o operador linear de derivação
Dcolon P2(R) longrightarrow P2(R), Dl(p(x)r)=p'(x),
e pede para provar que não existe autovalor lambdaneq0. O conteúdo envolve espaços vetoriais de polinômios e a definição de autovalor/autovetor para operadores lineares.

Passo 2

Suponha, por contradição, que exista um autovalor lambdaneq0 e um autovetor não nulo p(x)in P2(R) tais que
Dl(p(x)r)=lambda,p(x)
Isso significa
p'(x)=lambda,p(x),
com pnotequiv0 e lambdaneq0.

Passo 3

Como p(x) tem grau até 2, escreva
p(x)=a x^2+b x+c,
com (a,b,c)neq(0,0,0). Então
p'(x)=2a x+b
e a equação de autovalor fica
2a x+b=lambda,(a x^2+b x+c)

Passo 4

Igualando coeficientes de potências de
obtemos o sistema
Como . Substituindo em . Finalmente, de segue . Logo .

Passo 5

O resultado (a,b,c)=(0,0,0) implica pequiv0, contradizendo que p é autovetor não nulo. Portanto não existe lambdaneq0 satisfazendo D(p)=lambda p.

Resposta

O operador D não admite autovalor não nulo.

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