Considere o operador derivação definido por . Prove que não admite autovalor não nulo.(Dica: argumente por contradição)
Passo 1
O enunciado nos dá o operador linear de derivação
e pede para provar que não existe autovalor . O conteúdo envolve espaços vetoriais de polinômios e a definição de autovalor/autovetor para operadores lineares.
Passo 2
Suponha, por contradição, que exista um autovalor e um autovetor não nulo tais que
Isso significa
com e .
Passo 3
Como tem grau até 2, escreva
com . Então
e a equação de autovalor fica
Passo 4
Igualando coeficientes de potências de
obtemos o sistema
Como . Substituindo em dá . Finalmente, de segue . Logo .
Passo 5
O resultado (a,b,c)=(0,0,0) implica pequiv0, contradizendo que p é autovetor não nulo. Portanto não existe lambdaneq0 satisfazendo D(p)=lambda p.