Seja T: R^2 longrightarrow R^2 um operador linear com autovalores lambda1=2 e lambda2=1, e autovetores r1=(2,0) e v2=(1,1), respectivamente. Determine a expressão de T(x, y) para todo (x, y) in R^2.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T: R^2to R^2 com autovalores lambda1=2, lambda2=1 e autovetores r1=(2,0), v2=(1,1). Como r1,v2 formam uma base de R^2, para encontrar T(x,y) basta: (i) decompor (x,y) nessa base; (ii) usar T(r1)=2r1 e T(v2)=1cdot v2; (iii) voltar à base canônica.

Passo 2

Verificamos que r1 e v2 são independentes, logo base. Escrevemos
(x,y)=a,r1 + b,v2 = a,(2,0) + b,(1,1)

Passo 3

Igualando coordenadas,
(2a+b,;b) = (x,y),
logo
b = y, 2a + y = x Longrightarrow a = x - y2

Passo 4

Pela linearidade e pelos autovalores,
T(x,y) = a,T(r1) + b,T(v2) = acdot2,r1 ;+; bcdot1,v2 =2a,(2,0) + b,(1,1)

Passo 5

Substituindo a=tfracx-y2 e b=y,
T(x,y) = 2x-y2(2,0) + y(1,1) = (2(x-y),0) + (y,y) = (2x-2y+y,;y) = (2x - y,;y)

Resposta

T(x,y) = (2x - y,;y)

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