4 x+y+z+w= & 6 3 x+7 y-z+w= & 1 7 x+3 y-5 z+8 w= & -3 x+y+-z+2 w= & 3
(a) Resolva o sistema pela regra de Cramer.
(b) Resolva o sistema por eliminaçäo de Gauss-Jordan.
(c) Qual método envolve menos contas?

Passo 1

O enunciado dá o sistema de quatro equações lineares em quatro incógnitas
4x + y + z + w = 6, 3x + 7y - z + w = 1, 7x + 3y -5z +8w = -3, x + y - z +2w = 3,
e pede
a) a solução pelo método de Cramer;
b) a solução por eliminação de Gauss–Jordan;
c) comparar qual método exige menos contas.
Para resolver, vamos precisar calcular determinantes de matrizes 4times4 e fazer operações elementares em matrizes aumentadas.

Passo 2

Aplicando a regra de Cramer, seja
A = 4 & 1 & 1 & 1 3 & 7 & -1 & 1 7 & 3 & -5 & 8 1 & 1 & -1 & 2 , De<a = det(A)
Expandindo De<a pela primeira linha:
De<a = 4,M1 - 1,M2 + 1,M3 - 1,M4,
onde
M1 = 7 & -1 & 1 3 & -5 & 8 1 & -1 & 2 , M2 = 3 & -1 & 1 7 & -5 & 8 1 & -1 & 2 ,
M3 = 3 & 7 & 1 7 & 3 & 8 1 & 1 & 2 , M4 = 3 & 7 & -1 7 & 3 & -5 1 & 1 & -1
Calcula-se
M1 = -112, M2 = -2, M3 = -44, M4 = 16,
logo
De<a = 4cdot(-112) -(-2) +(-44) -16 = -114

Passo 3

Agora formam-se De<ax,De<ay,De<az,De<aw substituindo, em cada caso, a coluna das incógnitas correspondente pelo vetor dos termos independentes (6,1,-3,3)^T. O cálculo análogo ao de De<a leva a
De<ax = 238, De<ay = -148, De<az = -848, De<aw = -640
Pela regra de Cramer,
x = De<axDe<a = 238-114 = -11957, y = De<ayDe<a = -148-114 = 7457,
z = De<azDe<a = -848-114 = 42457, w = De<awDe<a = -640-114 = 32057

Passo 4

Agora resolvemos o mesmo sistema por eliminação de Gauss–Jordan. Monta-se a matriz aumentada
l[Amid br] = (cccc|c 4 & 1 & 1 & 1 & 6 3 & 7 & -1 & 1 & 1 7 & 3 & -5 & 8 & -3 1 & 1 & -1 & 2 & 3 )
Faz-se uma permutação para ter 1 no pivô principal e, em seguida, anulam-se abaixo e acima de cada pivô, obtendo finalmente
(cccc|c 1 & 0 & 0 & 0 & -tfrac11957 0 & 1 & 0 & 0 & tfrac7457 0 & 0 & 1 & 0 & tfrac42457 0 & 0 & 0 & 1 & tfrac32057 )
Isso confirma a mesma solução
x = -11957,;y = 7457,;z = 42457,;w = 32057

Passo 5

Comparando o esforço computacional:
– Pela regra de Cramer calcula-se um determinante 4times4 e mais quatro determinantes 4times4, cada um exigindo expansão por menores 3times3. É muita conta de co-fatores e determinantes.
– Na eliminação de Gauss–Jordan trabalha-se com operações elementares linha a linha, levando a algumas somas, multiplicações e divisões, mas em número bem menor de etapas.
Logo, o método de Gauss–Jordan envolve significativamente menos contas do que a regra de Cramer neste caso.

Resposta

a) x=-tfrac11957,;y=tfrac7457,;z=tfrac42457,;w=tfrac32057
b) Mesma solução por Gauss–Jordan.
c) A eliminação de Gauss–Jordan exige menos cálculos do que a regra de Cramer.

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