Sejam a1, a2, ldots, an números reais positivos. Use a desigualdade de Schwarz para provar que
(a1+a2 ldots+an)(1a1+1a2+ldots+1an) >= n^2

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para quaisquer números reais positivos a1,a2,dots,an, vale
l(a1+a2+cdots+anr)l(tfrac1a1+tfrac1a2+cdots+tfrac1anr)>= n^2
O conteúdo que vamos usar é a desigualdade de Cauchy–Schwarz para sequências reais.

Passo 2

A desigualdade de Cauchy–Schwarz afirma que, para quaisquer sequências reais xi e yi de mesmo comprimento n,
l(sumi=1^nxi,yir)^2;<=;l(sumi=1^nxi^2r),l(sumi=1^nyi^2r)

Passo 3

Para ligar essa forma ao que queremos, escolhemos
xi = raizai, yi = 1raizai, para i=1,2,dots,n
Observe que xi^2=ai e yi^2=1/ai.

Passo 4

Calculemos primeiro o produto interno sumi=1^nxiyi:
sumi=1^nxiyi = sumi=1^nraizai;1raizai = sumi=1^n1 = n
Aplicando Cauchy–Schwarz,
l(sumi=1^nxiyir)^2 ;<=; l(sumi=1^nxi^2r) l(sumi=1^nyi^2r)
implica
n^2 ;<=; l(a1+a2+cdots+anr) l(tfrac1a1+tfrac1a2+cdots+tfrac1anr)

Resposta

Portanto
l(a1+a2+cdots+anr) l(tfrac1a1+tfrac1a2+cdots+tfrac1anr);>=;n^2,
como era para demonstrar.

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