Sejam
números reais positivos. Use a desigualdade de Schwarz para provar que
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para quaisquer números reais positivos
, vale
O conteúdo que vamos usar é a desigualdade de Cauchy–Schwarz para sequências reais.
Passo 2
A desigualdade de Cauchy–Schwarz afirma que, para quaisquer sequências reais
e
de mesmo comprimento
,
Passo 3
Para ligar essa forma ao que queremos, escolhemos
Observe que
e
.
Passo 4
Calculemos primeiro o produto interno
:
Aplicando Cauchy–Schwarz,
implica
Resposta
Portanto
como era para demonstrar.