(a) det(2 A)=2 det(A)
(b) |A^2|=|A|^2
(c) det(I+A)=1+det(A)
(d) Se det (A)=0, então o sistema homogêneo A x=0 tem infinitas soluções.

Passo 1

O enunciado apresenta quatro afirmações sobre determinantes de uma matriz A de ordem n. O conteúdo aqui envolve as propriedades de determinantes: homogeneidade, multiplicatividade, comportamento sob soma de matrizes e relação entre determinante nulo e soluções de sistemas homogêneos.

Passo 2

Vamos usar a propriedade de homogeneidade do determinante, que diz que, para escalar uma matriz A de ordem n por um escalar lambda, vale
det(lambda A)=lambda^ndet(A)

Passo 3

Para (a) calcula-se det(2A). Pela homogeneidade,
det(2A)=2^ndet(A)
A afirmação det(2A)=2det(A) só seria verdade se n=1, mas em geral n é maior. Logo (a) é falsa.

Passo 4

Para (b) usamos a propriedade multiplicativa do determinante, que diz
det(A B)=det(A),det(B)
Tomando B=A, obtemos
det(A^2)=det(A),det(A)=det(A)^2
Assim lvert A^2rvert = lvert Arvert^2 é sempre verdadeiro.
A afirmação (b) segue diretamente do passo anterior, logo (b) é verdadeira.

Passo 5

Para (c) não existe, em geral, fórmula simples que expresse det(I+A) em função de det(A) apenas. Por exemplo, em dimensão 2 escolha
A=1&00&1,
então det(I+A)=det(2I)=2^2=4 mas 1+det(A)=1+1=2. Logo (c) é falsa.

Passo 6

Para (d) recorde que det(A)=0 significa que A é singular e, em um sistema homogêneo A x=0, a dimensão do espaço de soluções é pelo menos 1. Isso implica infinitas soluções (além da trivial). Portanto (d) é verdadeira.

Resposta

(a) falsa
(b) verdadeira
(c) falsa
(d) verdadeira

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