(a)
(b)
(c) det(I+A)=1+det(A)
(d) Se det (A)=0, então o sistema homogêneo A x=0 tem infinitas soluções.
Passo 1
O enunciado apresenta quatro afirmações sobre determinantes de uma matriz A de ordem n. O conteúdo aqui envolve as propriedades de determinantes: homogeneidade, multiplicatividade, comportamento sob soma de matrizes e relação entre determinante nulo e soluções de sistemas homogêneos.
Passo 2
Vamos usar a propriedade de homogeneidade do determinante, que diz que, para escalar uma matriz A de ordem n por um escalar lambda, vale
det(lambda A)=lambda^ndet(A)
Passo 3
Para (a) calcula-se det(2A). Pela homogeneidade,
det(2A)=2^ndet(A)
A afirmação det(2A)=2det(A) só seria verdade se n=1, mas em geral n é maior. Logo (a) é falsa.
Passo 4
Para (b) usamos a propriedade multiplicativa do determinante, que diz
det(A B)=det(A),det(B)
Tomando B=A, obtemos
det(A^2)=det(A),det(A)=det(A)^2
Assim lvert A^2rvert = lvert Arvert^2 é sempre verdadeiro.
A afirmação (b) segue diretamente do passo anterior, logo (b) é verdadeira.
Passo 5
Para (c) não existe, em geral, fórmula simples que expresse det(I+A) em função de det(A) apenas. Por exemplo, em dimensão 2 escolha
A=1&00&1,
então det(I+A)=det(2I)=2^2=4 mas 1+det(A)=1+1=2. Logo (c) é falsa.
Passo 6
Para (d) recorde que det(A)=0 significa que A é singular e, em um sistema homogêneo A x=0, a dimensão do espaço de soluções é pelo menos 1. Isso implica infinitas soluções (além da trivial). Portanto (d) é verdadeira.