Considere o operador T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(4 x+y-z, 2 x+5 y-2 z, x+y+2 z)
Determine os autovalores de T.

Passo 1

O enunciado nos dá o operador linear T:R^3toR^3 definido por
T(x,y,z) = (4x+y-z,;2x+5y-2z,;x+y+2z)
e pede os autovalores de T. Para isso, vamos representar T por uma matriz A em relação à base canônica e usar o fato de que os autovalores são as raízes do determinante det(A-lambda I)=0.

Passo 2

A matriz de T na base canônica é
A = 4 & 1 & -1 2 & 5 & -2 1 & 1 & 2
Lembrando que um autovalor lambda satisfaz
det(A - lambda I) = 0,
onde I é a matriz identidade 3times3.

Passo 3

Montamos A - lambda I e calculamos o determinante:
A - lambda I = 4-lambda & 1 & -1 2 & 5-lambda & -2 1 & 1 & 2-lambda
Usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores, obtemos
det(A-lambda I) = -lambda^3 +11lambda^2 -39lambda +45
Multiplicando por -1 para facilitar a leitura, o polinômio característico fica
lambda^3 -11lambda^2 +39lambda -45 = 0

Passo 4

Para encontrar as raízes, testamos valores inteiros que dividem 45. Verificamos que lambda=3 é raiz, pois
3^3 -11cdot3^2 +39cdot3 -45 = 27 -99 +117 -45 = 0
Fazendo a divisão sintética por (lambda-3), obtemos o quociente
lambda^2 -8lambda +15,
que se fatora como
lambda^2 -8lambda +15 = (lambda-3)(lambda-5)
Logo o polinômio característico se escreve
(lambda-3)^2(lambda-5)=0

Resposta

Os autovalores de T são
lambda = 3(mu<iplicidade 2), lambda = 5(mu<iplicidade 1)

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