Considere o operador
é diagonalizável? Em caso afirmativo, determine uma base que diagonaliza
e a matriz que representa o operador
nesta base.
Passo 1
O enunciado define o operador linear
por
O objetivo é verificar se
é diagonalizável. Para isso precisamos:
- escrever a matriz
de na base canônica; - calcular o polinômio característico e os autovalores;
- para cada autovalor, determinar a multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio);
- se a soma das multiplicidades geométricas for 3, escolher um sistema de 3 autovetores linearmente independentes e formar a base que diagonaliza
; - escrever a matriz diagonal nessa base.
Passo 2
A matriz de
na base canônica é
O polinômio característico é dado por
Passo 3
Calculando o determinante obtemos
ou seja
Fatorando por tentativa de raízes inteiras (
lambda=3 anula), temos
Logo os autovalores são
lambda1 = 3 (multiplicidade algébrica 2) e
lambda2 = 5 (multiplicidade algébrica 1).
Passo 4
Vamos achar os espaços próprios:
Para
, resolvemos
:
Um vetor próprio é, por exemplo,
Para
, resolvemos
:
Dessa forma o espaço próprio tem dimensão 2. Dois vetores independentes são, por exemplo,
Passo 5
Como as multiplicidades geométrica e algébrica coincidem e somam 3,
T é diagonalizável. A base de autovetores que diagonaliza
T é
Na base
B , a matriz de
T é diagonal com os autovalores na ordem correspondente a
v1,v2,v3 , isto é,
Resposta
A) Sim,
T é diagonalizável.
B) Uma base de autovetores é
B) Uma base de autovetores é
C) Na base
B , a matriz de
T é