Considere o operador T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(4 x+y-z, 2 x+5 y-2 z, x+y+2 z)
T é diagonalizável? Em caso afirmativo, determine uma base que diagonaliza T e a matriz que representa o operador T nesta base.

Passo 1

O enunciado define o operador linear T:R^3toR^3 por
T(x,y,z) = (4x + y - z,;2x + 5y - 2z,;x + y + 2z)
O objetivo é verificar se T é diagonalizável. Para isso precisamos:
  1. escrever a matriz A de T na base canônica;
  2. calcular o polinômio característico e os autovalores;
  3. para cada autovalor, determinar a multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio);
  4. se a soma das multiplicidades geométricas for 3, escolher um sistema de 3 autovetores linearmente independentes e formar a base que diagonaliza T;
  5. escrever a matriz diagonal nessa base.

Passo 2

A matriz de T na base canônica é
A = 4 & 1 & -1 2 & 5 & -2 1 & 1 & 2
O polinômio característico é dado por
det(A - lambda I) = det 4-lambda & 1 & -1 2 & 5-lambda & -2 1 & 1 & 2-lambda

Passo 3

Calculando o determinante obtemos
det(A - lambda I) = -lambda^3 + 11lambda^2 -39lambda +45,
ou seja
lambda^3 -11lambda^2 +39lambda -45 = 0
Fatorando por tentativa de raízes inteiras ( lambda=3 anula), temos
(lambda-3)(lambda^2 -8lambda +15) = (lambda-3)^2(lambda-5)
Logo os autovalores são
lambda1 = 3 (multiplicidade algébrica 2) e lambda2 = 5 (multiplicidade algébrica 1).

Passo 4

Vamos achar os espaços próprios:
Para , resolvemos :
Um vetor próprio é, por exemplo,
Para , resolvemos :
Dessa forma o espaço próprio tem dimensão 2. Dois vetores independentes são, por exemplo,

Passo 5

Como as multiplicidades geométrica e algébrica coincidem e somam 3, T é diagonalizável. A base de autovetores que diagonaliza T é
B = lv1=(1,0,1),;v2=(0,1,1),;v3=(1,2,1)r
Na base B, a matriz de T é diagonal com os autovalores na ordem correspondente a v1,v2,v3, isto é,
[D]B = 3 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 5

Resposta

A) Sim, T é diagonalizável.
B) Uma base de autovetores é
B = (1,0,1),;(0,1,1),;(1,2,1)
C) Na base B, a matriz de T é
3 & 0 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 5

Exercícios relacionados