Seja G o grupo aditivo de todas as matrizes quadradas triangular superior de ordem 2. Seja H o subconjunto G formado pelas matrizes da forma
(ll 1 & x 0 & 1 )
onde x in R. Prove que
d) G / H é abeliano.

Passo 1

O enunciado considera o grupo G formado pelas matrizes invertíveis triangulares superiores de ordem 2, com a operação de multiplicação de matrizes, e o subconjunto
H = 1 & x0 & 1: xinR
Queremos mostrar que o quociente G/H é abeliano. Vamos usar o Teorema do Homomorfismo de Grupos, construindo um homomorfismo de G em um grupo abeliano cujo núcleo seja exatamente H.

Passo 2

Defina
varphicolon G longrightarrow R^*times R^*, varphi!gl(a & b0 & cgr) = (a,c)
Para verificar que é homomorfismo, note que, para
M=a & b0 & c
e
N=a' & b'0 & c',
temos
MN = aa' & ab'+bc'0 & cc',
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varphi(MN) = (aa',,cc') = (a,c),(a',c') = varphi(M),varphi(N)
Além disso, dada qualquer (u,v)inR^*timesR^*, basta escolher
u & 00 & vin G
para ver que varphi é sobrejetora.

Passo 3

O núcleo de varphi é
kervarphi = lMin G : varphi(M) = (1,1)r = l1 & b0 & 1: binRr = H

Passo 4

Pelo Teorema do Homomorfismo,
G / kervarphi ;cong; im,varphi ;=; R^*timesR^*
Como R^*timesR^* é abeliano, conclui-se que G/H é abeliano.

Resposta

G/H é abeliano, pois está isomorfo ao grupo abeliano R^*timesR^*.

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