com o produto usual e a soma usual de matrizes é um grupo.
Passo 1
O enunciado define
G = a & b -b & a ;midd<=|; a,binR,;(a,b)neq(0,0)
e pede para mostrar que G, com o produto usual de matrizes, é um grupo. O conteúdo é teoria de grupos de matrizes. Precisamos verificar fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inverso para cada elemento de G.
Passo 2
(Fechamento e associatividade)
Sejam
X=a & b -b & a, Y=c & d -d & c
com (a,b)neq(0,0) e (c,d)neq(0,0). O produto é
XY =a & b -b & a c & d -d & c =ac-bd & ad+bc -(ad+bc) & ac-bd
Note que ac-bd e ad+bc são reais. Como
(ac-bd)^2 + (ad+bc)^2 = (a^2+b^2)(c^2+d^2)neq 0,
então (ac-bd,,ad+bc)neq(0,0) e XYin G. A associatividade segue porque a multiplicação de matrizes é associativa em geral.
Passo 3
(Elemento neutro)
A matriz identidade
I = 1 & 0 0 & 1
é do tipo l(a=1,b=0r) e satisfaz IX = XI = X para todo Xin G. Logo, I é o neutro em G.
Passo 4
(Inverso)
Dada X=a & b -b & ain G, seu determinante é
det X = a^2 + b^2 neq 0
O inverso em matrizes é
X^-1 = 1a^2+b^2a & -b b & a = dfracaa^2+b^2 & -dfracba^2+b^2[6pt] dfracba^2+b^2 & dfracaa^2+b^2
Como l(tfracaa^2+b^2, -tfracba^2+b^2r)neq(0,0), segue X^-1in G e de fato XX^-1=X^-1X=I.
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Passo 5
(Comutatividade)
Para quaisquer a & b-b & a,;c & d-d & cin G, seus produtos satisfazem
a & b-b & a c & d-d & c = c & d-d & c a & b-b & a,
porque essa operação é isomorfa à multiplicação de números complexos a+bi e c+di. Assim G é abeliano.
Resposta
O conjunto G, com o produto usual de matrizes, satisfaz fechamento, associatividade, possui elemento neutro e inversos, e é comutativo. Portanto, G é um grupo abeliano sob multiplicação.