Considere o operador T(x, y)=(x+2 y,-x+4 y). Determine a matriz canônica associada a esse operador, o polinômio característico, os autovalores, os autoespaços e as multiplicidades algébricas e geométricas associadas aos autovalores.

Passo 1

O enunciado apresenta o operador linear Tcolon R^2toR^2 definido por
T(x,y) = (x + 2y,,-x + 4y)
Vamos determinar:
  1. A matriz canônica de T na base canônica.
  2. O polinômio característico de T.
  3. Os autovalores de T.
  4. Os autoespaços correspondentes a cada autovalor.
  5. As multiplicidades algébricas e geométricas de cada autovalor.

Passo 2

Para achar a matriz de T na base canônica e1,e2, calculamos
T(e1)=T(1,0)=(1+2cdot0,,-1+4cdot0)=(1,-1), T(e2)=T(0,1)=(0+2cdot1,,-0+4cdot1)=(2,4)
Assim, as colunas da matriz são as coordenadas de T(e1) e T(e2), e
A = 1 & 2 -1 & 4
é a matriz canônica de T.

Passo 3

O polinômio característico de A é
p(lambda) = det(A - lambda I) = det!1-lambda & 2 -1 & 4-lambda = (1-lambda)(4-lambda) - (2)(-1) = lambda^2 - 5lambda + 6
Resolvendo p(lambda)=0, obtemos as raízes
lambda1 = 2 e lambda2 = 3.

Passo 4

Para cada autovalor lambda, resolvemos (A-lambda I)v=0 e obtemos o autoespaço Elambda.
Para lambda=2:
A - 2I = 1-2 & 2 -1 & 4-2 = -1 & 2 -1 & 2
A equação -x + 2y = 0 implica x=2y. Logo,
E2 = (2y,y)colon yinR = span(2,1),
e a multiplicidade geométrica de lambda=2 é dim E2 = 1.
Para lambda=3:
A - 3I = 1-3 & 2 -1 & 4-3 = -2 & 2 -1 & 1
A equação -2x + 2y = 0 implica y=x. Logo,
E3 = (x,x)colon xinR = span(1,1),
e a multiplicidade geométrica de lambda=3 é dim E3 = 1.
O polinômio característico p(lambda)=(lambda-2)(lambda-3) mostra que cada autovalor tem multiplicidade algébrica 1.

Resposta

Matriz canônica de T:
A = 1 & 2 -1 & 4
Polinômio característico:
p(lambda) = lambda^2 - 5lambda + 6 = (lambda - 2)(lambda - 3)
Autovalores:
lambda1 = 2, lambda2 = 3.
Autoespaços:
E2 = span(2,1), E3 = span(1,1)
Multiplicidades algébricas: ma(2)=1, ma(3)=1.
Multiplicidades geométricas: mg(2)=1, mg(3)=1.

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