Seja T: R^3 longrightarrow R^3 definida por T(x, y, z)=(x+z, y+z, x+y+2 z). Considere as bases beta base canônica e beta^prime=(1,1,2) ;(-1,1,0) ;(-1,-1,1) do R^3. Encontre a seguinte matriz:
[T]beta^prime^beta

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear
Tcolon R^3 longrightarrow R^3, T(x,y,z) = (x+z,;y+z,;x+y+2z)
e pede a matriz [T]beta'^beta, onde beta é a base canônica e
beta' = v1,v2,v3 = (1,1,2),,(-1,1,0),,(-1,-1,1) é a base do domínio.
Para montar essa matriz, precisamos calcular T(vj) para cada vetor de beta' e escrever o resultado em coordenadas da base canônica beta. Esses vetores serão as colunas de [T]beta'^beta.

Passo 2

Recordando a definição: a coluna j de [T]beta'^beta é justamente o vetor de coordenadas de T(vj) na base canônica. Como beta é a base padrão, essa coordenada é simplesmente o próprio vetor T(vj).

Passo 3

Calcular T(v1) com v1 = (1,1,2):
T(1,1,2) = l(1+2,;1+2,;1+1+2cdot2r) = (3,3,6)

Passo 4

Calcular T(v2) com v2 = (-1,1,0):
T(-1,1,0) = l(-1+0,;1+0,;-1+1+2cdot0r) = (-1,1,0)

Passo 5

Calcular T(v3) com v3 = (-1,-1,1):
T(-1,-1,1) = l(-1+1,;-1+1,;-1 -1 + 2cdot1r) = (0,0,0)

Passo 6

Agora montamos a matriz colocando esses vetores como colunas (na ordem v1,v2,v3):
[T]beta'^beta = 3 & -1 & 0 3 & 1 & 0 6 & 0 & 0

Resposta

[T]beta'^beta = 3 & -1 & 0 3 & 1 & 0 6 & 0 & 0

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