Verifique se a matriz
A=[ccc 0 & 0 & -2 1 & 2 & 1 1 & 0 & 3 ]
é diagonalizável. Caso afirmativo, encontre a matriz X e D tais que A=XDX^-1.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = 0 & 0 & -2 1 & 2 & 1 1 & 0 & 3
é diagonalizável. Isso envolve calcular o polinômio característico de A, encontrar seus autovalores e autovetores, checar se há uma base de autovetores e, em caso positivo, montar X (de autovetores) e D (diagonal de autovalores) tais que
A = X,D,X^-1

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico chiA(lambda)=det(A-lambda I). Temos
A - lambda I = -lambda & 0 & -2 1 & 2-lambda & 1 1 & 0 & 3-lambda
Expandindo pela primeira linha:
chiA(lambda) = -lambdadet2-lambda & 1[6pt]0 & 3-lambda -2det1 & 2-lambda[3pt]1 & 0
O primeiro determinante é
(2-lambda)(3-lambda)-1cdot0 = lambda^2 -5lambda +6,
e o segundo é
1cdot0-(2-lambda)cdot1 = lambda-2
Logo
chiA(lambda) = -lambdal(lambda^2-5lambda+6r) -2(lambda-2) = -lambda^3+5lambda^2-8lambda+4
Multiplicando por -1 para simplificar,
chiA(lambda)=lambda^3-5lambda^2+8lambda-4 ]

Passo 3

Fatoramos chiA(lambda). Testando lambda=1
1-5+8-4=0,
então lambda=1 é raiz. Dividindo por lambda-1 obtemos
lambda^3-5lambda^2+8lambda-4 = (lambda-1)(lambda^2-4lambda+4) = (lambda-1)(lambda-2)^2
Os autovalores são lambda1=1 (simples) e lambda2=2 (multiplicidade algébrica 2).

Passo 4

Agora encontramos os autovetores.
Para :
Da primeira equação vem . Da segunda vem . Logo todo autovetor é proporcional a
Para :
Da segunda linha . A primeira é então redundante, e fica livre. Assim o espaço próprio tem dimensão , gerado por

Passo 5

O autovalor lambda=1 tem multiplicidade geométrica 1 e lambda=2 tem multiplicidade geométrica 2, igual às suas multiplicidades algébricas. Isso garante que A é diagonalizável.

Passo 6

Basta montar
X = l[v1;v2;v3r] = -2 & 0 & -1 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 , D = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 2
Então verifica-se que A = X,D,X^-1.

Resposta

X = -2 & 0 & -1 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 , D = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 2 ,
com A = X,D,X^-1.

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