é diagonalizável. Caso afirmativo, encontre a matriz X e D tais que A=XDX^-1.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a matriz
A = 0 & 0 & -2 1 & 2 & 1 1 & 0 & 3
é diagonalizável. Isso envolve calcular o polinômio característico de A, encontrar seus autovalores e autovetores, checar se há uma base de autovetores e, em caso positivo, montar X (de autovetores) e D (diagonal de autovalores) tais que
A = X,D,X^-1
Passo 2
Vamos calcular o polinômio característico chiA(lambda)=det(A-lambda I). Temos
A - lambda I = -lambda & 0 & -2 1 & 2-lambda & 1 1 & 0 & 3-lambda
Os autovalores são lambda1=1 (simples) e lambda2=2 (multiplicidade algébrica 2).
Passo 4
Agora encontramos os autovetores.
Para :
Da primeira equação vem . Da segunda vem . Logo todo autovetor é proporcional a
Para :
Da segunda linha . A primeira é então redundante, e fica livre. Assim o espaço próprio tem dimensão , gerado por
Passo 5
O autovalor lambda=1 tem multiplicidade geométrica 1 e lambda=2 tem multiplicidade geométrica 2, igual às suas multiplicidades algébricas. Isso garante que A é diagonalizável.