Seja o sistema homogêneo:
x+2 y-4 z+3 t & =0 x+2 y-2 z+2 t & =0 2 x+4 y-2 z+3 t & =0
determinar uma base e a dimensão do espaço-nulo deste sistema.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema homogêneo em quatro variáveis (x,y,z,t):
x + 2y - 4z + 3t = 0, x + 2y - 2z + 2t = 0, 2x + 4y - 2z + 3t = 0
O conteúdo aqui é encontrar o espaço-nulo (ou núcleo) de uma matriz de coeficientes, o que envolve aplicar eliminação de Gauss para determinar a forma reduzida, identificar variáveis livres e expressar a solução geral em termos de parâmetros.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes e aplicamos operações de linha para triangularizar:
1 & 2 & -4 & 3 1 & 2 & -2 & 2 2 & 4 & -2 & 3
R 2 R 2 - R 1 e R 3 R 3 - 2,R 1
1 & 2 & -4 & 3 0 & 0 & 2 & -1 0 & 0 & 6 & -3
Em seguida, R 3 R 3 - 3,R 2 produz uma linha nula, mostrando que o posto é 2.

Passo 3

Da forma escalonada obtemos os pivôs nas colunas de
Da segunda equação vem
Logo são pivôs, e e são livres. O posto é , então a dimensão do espaço-nulo é

Passo 4

Introduzimos parâmetros livres: defina
y = s, t = r
Então
z = tfrac12,r,
e da primeira equação
x = -2y +4z -3t = -2s +4l(tfrac12rr) -3r = -2s - r
Assim a solução geral é
(x,y,z,t) = l(-2s - r,; s,;tfrac12,r,; rr) = s,(-2,1,0,0) ;+; r,(-1,0,tfrac12,1)

Passo 5

Para evitar frações, redefina r=2u. Então
r,(-1,0,tfrac12,1) = 2u,(-1,0,tfrac12,1) = u,(-2,0,1,2)
Portanto uma base do espaço-nulo é formada pelos vetores
v1 = (-2,1,0,0), v2 = (-2,0,1,2),
e confirmamos que dim(ker A)=2.

Resposta

Uma base do espaço-nulo é
,(-2,1,0,0),;(-2,0,1,2),
e a dimensão desse espaço-nulo é 2.

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