Considere o operador T(x, y)=(y,-x). Determine a matriz canônica associada a esse operador, o polinômio característico, os autovalores, os autoespaços e as multiplicidades algébricas e geométricas associadas aos autovalores.

Passo 1

O enunciado define o operador linear
Tcolon R^2 to R^2, T(x,y)=(y,-x)
e pede:
bul<=t a matriz de T na base canônica,
bul<=t o polinômio característico,
bul<=t os autovalores,
bul<=t os autoespaços,
bul<=t as multiplicidades algébricas e geométricas de cada autovalor.

Passo 2

Para obter a matriz canônica de T na base (e1,e2), calculamos
T(e1)=T(1,0)=(0,-1)=-,e2, T(e2)=T(0,1)=(1,0)=e1
Assim a matriz A satisfaz
A,(x,y)^T = (y,-x)^T
e é dada por
A = 0 & 1 -1 & 0

Passo 3

O polinômio característico é
p(lambda)=det(A-lambda I) =det!-lambda & 1-1 & -lambda =lambda^2+1

Passo 4

As raízes de p(lambda)=0 são
lambda^2+1=0 Longrightarrow lambda=ioulambda=-i

Passo 5

Para resolvemos , ou seja,
Tomando , um autovetor é , e
Analogamente, para obtemos o autovetor e

Passo 6

Cada autovalor lambda=i e lambda=-i aparece como raiz simples de p(lambda), logo a multiplicidade algébrica de cada um é 1. Como cada autoespaço é gerado por um único vetor, suas multiplicidades geométricas também são 1.

Resposta

Matriz canônica:
A = 0 & 1-1 & 0
Polinômio característico:
p(lambda)=lambda^2+1
Autovalores: lambda=i e lambda=-i.
Autoespaços:
Ei=span(1,i), E-i=span(1,-i)
Multiplicidades algébricas: ma(i)=ma(-i)=1.
Multiplicidades geométricas: mg(i)=mg(-i)=1.

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