Considere o operador é diagonalizável? Em caso afirmativo, determine uma base que diagonaliza e a matriz que representa o operador nesta base.
Passo 1
O enunciado define um operador linear
e pergunta se é diagonalizável. Para isso, vamos representar por sua matriz na base canônica, calcular o polinômio característico, os autovalores e autovetores, e comparar as multiplicidades algébrica e geométrica.
Passo 2
As colunas da matriz de na base canônica são . Logo,
Para diagonalizar, precisamos dos autovalores (raízes do det(A-lambda I)) e dos autovetores.
vemos que lambda=2 é raiz dupla e o fator residual dá lambda=-4 simples. Assim, os autovalores são
lambda1=2 (alg 2), lambda2=-4 (alg 1)
Passo 5
Agora os autovetores:
– Para , leva ao sistema
que implica e . Logo
– Para , fornece um espaço próprio de dimensão 1, por exemplo
Passo 6
A multiplicidade geométrica de lambda=2 é 1, mas sua multiplicidade algébrica é 2. Como não coincidem, não existe base de R^3 formada por autovetores de T o suficiente para diagonalizar T.