Considere o operador T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(3 x-y+z, 7 x-5 y+z, 6 x-6 y+2 z)
T é diagonalizável? Em caso afirmativo, determine uma base que diagonaliza T e a matriz que representa o operador T nesta base.

Passo 1

O enunciado define um operador linear
Tcolon R^3toR^3, T(x,y,z)=(3x-y+z,;7x-5y+z,;6x-6y+2z)
e pergunta se T é diagonalizável. Para isso, vamos representar T por sua matriz na base canônica, calcular o polinômio característico, os autovalores e autovetores, e comparar as multiplicidades algébrica e geométrica.

Passo 2

As colunas da matriz A de T na base canônica são T(e1),T(e2),T(e3). Logo,
A= 3 & -1 & 1 7 & -5 & 1 6 & -6 & 2
Para diagonalizar, precisamos dos autovalores (raízes do det(A-lambda I)) e dos autovetores.

Passo 3

Calculamos o polinômio característico:
det(A-lambda I) =det 3-lambda & -1 & 1 7 & -5-lambda & 1 6 & -6 & 2-lambda =lambda^3-12lambda+16

Passo 4

Resolvendo
lambda^3-12lambda+16=0
vemos que lambda=2 é raiz dupla e o fator residual dá lambda=-4 simples. Assim, os autovalores são
lambda1=2 (alg 2), lambda2=-4 (alg 1)

Passo 5

Agora os autovetores:
– Para , leva ao sistema
que implica e . Logo
– Para , fornece um espaço próprio de dimensão 1, por exemplo

Passo 6

A multiplicidade geométrica de lambda=2 é 1, mas sua multiplicidade algébrica é 2. Como não coincidem, não existe base de R^3 formada por autovetores de T o suficiente para diagonalizar T.

Resposta

T não é diagonalizável.

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