Seja T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(z, x-y,-z) e seja W=k e r T.
Encontre uma base ortonormal para W^L (em relação ao produto interno canônico de R^3 ).

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear
Tcolon R^3toR^3, T(x,y,z)=(z,;x-y,;-z)
e define W=ker T. O que queremos é uma base ortonormal de
W^perp=vinR^3mid vcdot w=0 para todo winker T,
onde cdot é o produto interno canônico.

Passo 2

Vamos representar T pela matriz A cujas colunas agem em (x,y,z). Observando coordenada a coordenada:
– primeira componente de T(x,y,z) é z,
– segunda é x-y,
– terceira é -z.
Logo
A = 0 & 0 & 1 1 & -1 & 0 0 & 0 & -1 ,
pois T(x,y,z)=A,(x,y,z)^T.

Passo 3

Pelo teorema da álgebra linear,
W^perp=(ker A)^perp=row space(A),
isto é, o subespaço gerado pelas linhas de A. As linhas de A são
r1=(0,0,1), r2=(1,-1,0), r3=(0,0,-1)
Note que r3=-r1, então basta usar
v1=(0,0,1), v2=(1,-1,0)
como geradores de W^perp.

Passo 4

Agora aplicamos Gram–Schmidt ao par v1,v2. Primeiro,
u1 = v1|v1| = (0,0,1)raiz0^2+0^2+1^2 = (0,0,1)
Em seguida, projetamos v2 sobre u1 e subtraímos:
proju1(v2) = (v2cdot u1),u1 = (1cdot0 + (-1)cdot0 + 0cdot1),(0,0,1) = (0,0,0),
portanto
w2 = v2 - proju1(v2) = (1,-1,0)
Normalizando w2:
u2 = w2|w2| = (1,-1,0)raiz1^2+(-1)^2+0^2 = l(tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2,0r)

Passo 5

Os vetores u1 e u2 são ortonormais e geram a row space de A, logo formam base ortonormal de W^perp.

Resposta

l(0,0,1),;l(tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2,0r)r
é uma base ortonormal de W^perp.

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