Seja dada por e seja .
Encontre uma base ortonormal para (em relação ao produto interno canônico de ).
Passo 1
O enunciado nos dá a transformação linear
e define . O que queremos é uma base ortonormal de
onde é o produto interno canônico.
Passo 2
Vamos representar pela matriz cujas colunas agem em . Observando coordenada a coordenada:
– primeira componente de é ,
– segunda é ,
– terceira é .
Logo
pois T(x,y,z)=A,(x,y,z)^T.
Passo 3
Pelo teorema da álgebra linear,
W^perp=(ker A)^perp=row space(A),
isto é, o subespaço gerado pelas linhas de A. As linhas de A são
r1=(0,0,1), r2=(1,-1,0), r3=(0,0,-1)
Note que r3=-r1, então basta usar
v1=(0,0,1), v2=(1,-1,0)
como geradores de W^perp.
Passo 4
Agora aplicamos Gram–Schmidt ao par v1,v2. Primeiro,