Seja A=[ai j]n times n uma matriz quadrada. Definimos o traço de A, Tr(A), por sumi=1^n ai j
Tr(A cdot B)=Tr(B cdot A) ?

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que, dadas duas matrizes quadradas A e B de mesma ordem n, vale sempre
Tr(A,B) ;=;Tr(B,A)
O conteúdo envolvido é Álgebra Linear, mais especificamente a definição de traço de uma matriz e manipulação de somatórios.

Passo 2

Por definição, o traço de uma matriz quadrada M=[mij]ntimes n é a soma dos elementos da diagonal principal, isto é
Tr(M) =sumi=1^nmii

Passo 3

Vamos escrever o elemento da diagonal de A,B. Pela regra de multiplicação de matrizes,
(A,B)ii =sumk=1^naik,bki
Logo, aplicando a definição de traço,
Tr(A,B) =sumi=1^n(A,B)ii =sumi=1^nsumk=1^naik,bki

Passo 4

Na soma dupla acima podemos trocar o nome dos índices de somação sem alterar o valor do somatório. Se trocarmos irightarrow k, obtemos
sumi=1^nsumk=1^naik,bki =sumk=1^nsumi=1^nbki,aik =sumk=1^n(B,A)kk =Tr(B,A)
Isso mostra exatamente que Tr(A,B)=Tr(B,A).

Resposta

Sim, para quaisquer matrizes quadradas A e B de ordem n vale sempre
Tr(A,B) ;=;Tr(B,A)

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