Seja
uma matriz quadrada. Definimos o traço de
, por
?
Passo 1
O enunciado nos pede para mostrar que, dadas duas matrizes quadradas
e
de mesma ordem
, vale sempre
O conteúdo envolvido é Álgebra Linear, mais especificamente a definição de traço de uma matriz e manipulação de somatórios.
Passo 2
Por definição, o traço de uma matriz quadrada
é a soma dos elementos da diagonal principal, isto é
Passo 3
Vamos escrever o elemento da diagonal de
. Pela regra de multiplicação de matrizes,
Logo, aplicando a definição de traço,
Passo 4
Na soma dupla acima podemos trocar o nome dos índices de somação sem alterar o valor do somatório. Se trocarmos
, obtemos
Isso mostra exatamente que
.
Resposta
Sim, para quaisquer matrizes quadradas
e
de ordem
vale sempre