Exercício 2.42. Resolva o PVI

l d yd x=1-2 y y(0)=52

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
dydx=1-2y, y(0)=52,
que é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem. Vamos transformá-la em forma padrão e usar o método de solução de equações lineares com coeficientes constantes.

Passo 2

Reescrevemos a equação na forma padrão
dydx+2y=1
Aqui o termo 2y é o coeficiente de y e o lado direito é a função conhecida.

Passo 3

Resolvemos a equação homogênea associada
dyhdx+2yh=0
Separando variáveis ou reconhecendo coeficiente constante, obtemos
yh=C e^-2x,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Procuramos uma solução particular yp constante. Como dypdx=0, basta substituir em
0+2yp=1
para achar
yp=12

Passo 5

A solução geral é
y(x)=yh+yp=C e^-2x+12
Aplicando a condição inicial y(0)=5/2
C+12=52Longrightarrow C=2
Logo a solução do PVI é
y(x)=12+2e^-2x

Resposta

y(x)=12+2e^-2x

Exercícios relacionados