Questão 28. (Continuidade)
Mostre que

Passo 1

Beleza, resumindo a questão: temos a função
f(x)= 1 - x^2, & se x <= 1, ln(x), & se x > 1
O conteúdo é Continuidade de funções definidas por partes. Para mostrar que f é contínua em todo R, vamos usar a definição de continuidade
limx to a f(x) = f(a),
analisando três casos: (i) pontos em (-infty,1), (ii) pontos em (1,infty) e (iii) o ponto de junção x=1. Precisamos saber que polinômios são contínuos em R e que ln(x) é contínua em (0,infty).

Passo 2

Para qualquer x<1, a fórmula é f(x)=1-x^2. Como soma, subtração e potência de x geram um polinômio, e todo polinômio é contínuo em R, segue que f é contínua em cada ponto de (-infty,1).
Para qualquer x>1, a fórmula é f(x)=ln(x). Sabemos que a função logaritmo natural é contínua em seu domínio (0,infty), logo é contínua em (1,infty).
Assim, já garantimos continuidade para todo xneq 1.

Passo 3

Falta checar o ponto x=1. A definição diz que f é contínua em 1 se
limx to 1 f(x) = f(1)
Calculamos os limites laterais:
limx to 1^- f(x) = limx to 1^- (1 - x^2) = 1 - 1^2 = 0,
limx to 1^+ f(x) = limx to 1^+ ln(x) = ln(1) = 0
E pelo próprio valor,
f(1) = 1 - 1^2 = 0
Como limxto1^-f(x)=limxto1^+f(x)=f(1)=0, a função é contínua em x=1.

Resposta

Portanto, f é contínua em todo o conjunto dos números reais.

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