Questão 28. (Continuidade)
Mostre que
Passo 1
Beleza, resumindo a questão: temos a função
O conteúdo é Continuidade de funções definidas por partes. Para mostrar que
é contínua em todo
, vamos usar a definição de continuidade
analisando três casos: (i) pontos em
, (ii) pontos em
e (iii) o ponto de junção
. Precisamos saber que polinômios são contínuos em
e que
é contínua em
.
Passo 2
Para qualquer
, a fórmula é
. Como soma, subtração e potência de
geram um polinômio, e todo polinômio é contínuo em
, segue que
é contínua em cada ponto de
.
Para qualquer , a fórmula é
. Sabemos que a função logaritmo natural é contínua em seu domínio
, logo é contínua em
.
Assim, já garantimos continuidade para todo .
Para qualquer
Assim, já garantimos continuidade para todo
Passo 3
Falta checar o ponto
. A definição diz que
é contínua em
se
Calculamos os limites laterais:
E pelo próprio valor,
Como
, a função é contínua em
.
Resposta
Portanto,
é contínua em todo o conjunto dos números reais.