Considere o operador
Encontre uma base para cada auto-espaço de
.
Encontre uma base para cada auto-espaço de
Passo 1
O enunciado define o operador linear
dado por
Queremos encontrar uma base de cada autoespaço de
, ou seja, resolver
para cada autovalor
.
Passo 2
Escrevemos a matriz de
na base canônica:
O polinômio característico é
det(A-lambda I)=0 . Calculando,
Mudando de sinal, obtemos
Fatorando por tentativa,
lambda=3 é raiz dupla e
lambda=5 é simples:
Passo 3
Para
lambda=5 resolvemos
(A-5I)v=0 . A matriz é
O sistema leva a
Da segunda equação
x=z . Substituindo na primeira,
z = y - zRightarrow y=2z . Logo qualquer vetor é
Uma base do autoespaço de
lambda=5 é
Passo 4
Para
lambda=3 resolvemos
(A-3I)v=0 . A matriz é
As equações colapsam em
Isso define um espaço de dimensão 2. Podemos escrever
Uma base do autoespaço de
lambda=3 é
Resposta
Autovalor
lambda=5 : autoespaço gerado por
(1,2,1) .
Autovalorlambda=3 : autoespaço gerado por
(1,0,1),,(0,1,1) .
Autovalor