Considere o operador T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(4 x+y-z, 2 x+5 y-2 z, x+y+2 z)
Encontre uma base para cada auto-espaço de T.

Passo 1

O enunciado define o operador linear T:R^3toR^3 dado por
T(x,y,z) = (4x + y - z,;2x +5y -2z,;x + y +2z)
Queremos encontrar uma base de cada autoespaço de T, ou seja, resolver (T-lambda I)v=0 para cada autovalor lambda.

Passo 2

Escrevemos a matriz de T na base canônica:
A = 4 & 1 & -1 2 & 5 & -2 1 & 1 & 2
O polinômio característico é det(A-lambda I)=0. Calculando,
det(A-lambda I) = det 4-lambda & 1 & -1 2 & 5-lambda & -2 1 & 1 & 2-lambda = -lambda^3 +11lambda^2 -39lambda +45
Mudando de sinal, obtemos
lambda^3 -11lambda^2 +39lambda -45 = 0
Fatorando por tentativa, lambda=3 é raiz dupla e lambda=5 é simples:
lambda^3 -11lambda^2 +39lambda -45 = (lambda-3)^2(lambda-5)

Passo 3

Para lambda=5 resolvemos (A-5I)v=0. A matriz é
A-5I = -1 & 1 & -1 2 & 0 & -2 1 & 1 & -3
O sistema leva a
-x + y - z = 0, x - z = 0, x+y-3z=0
Da segunda equação x=z. Substituindo na primeira, z = y - zRightarrow y=2z. Logo qualquer vetor é
(x,y,z) = (z,2z,z) = z,(1,2,1)
Uma base do autoespaço de lambda=5 é
(1,2,1)

Passo 4

Para lambda=3 resolvemos (A-3I)v=0. A matriz é
A-3I = 1 & 1 & -1 2 & 2 & -2 1 & 1 & -1
As equações colapsam em
x + y - z = 0 Longrightarrow z = x + y
Isso define um espaço de dimensão 2. Podemos escrever
(x,y,z) = (x,y,x+y) = x,(1,0,1) + y,(0,1,1)
Uma base do autoespaço de lambda=3 é
(1,0,1),,(0,1,1)

Resposta

Autovalor lambda=5: autoespaço gerado por (1,2,1).
Autovalor lambda=3: autoespaço gerado por (1,0,1),,(0,1,1).

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