Determine o polinômio característico da matriz
[rrr1 & 3 & 0 -2 & 2 & -1 4 & 0 & -2]

Passo 1

O enunciado pede o polinômio característico da matriz
A = 1 & 3 & 0 -2 & 2 & -1 4 & 0 & -2
O conteúdo aqui é calcular
det(A - lambda I), que vai nos dar um polinômio em lambda.

Passo 2

Formamos a matriz A - lambda I:
A - lambda I = 1-lambda & 3 & 0 -2 & 2-lambda & -1 4 & 0 & -2-lambda

Passo 3

Vamos calcular o determinante por expansão na primeira linha:
det(A - lambda I) = (1-lambda),det2-lambda & -10 & -2-lambda -3,det-2 & -14 & -2-lambda

Passo 4

Calculamos cada menor:
det2-lambda & -10 & -2-lambda =(2-lambda)(-2-lambda)-(-1)cdot0 =-(2-lambda)(2+lambda)=lambda^2-4,
det-2 & -14 & -2-lambda =(-2)(-2-lambda)-(-1)cdot4 =4+2lambda+4=2(4+lambda)

Passo 5

Substituindo em det(A-lambda I):
det(A-lambda I) =(1-lambda)(lambda^2-4)-3cdot2(4+lambda) =(1-lambda)(lambda^2-4)-6(4+lambda)
Expandindo e simplificando:
(1-lambda)(lambda^2-4)=lambda^2-4-lambda^3+4lambda =-lambda^3+lambda^2+4lambda-4,
-;6(4+lambda)=-24-6lambda,
det(A-lambda I) =-lambda^3+lambda^2+4lambda-4-24-6lambda =-lambda^3+lambda^2-2lambda-28

Passo 6

Para apresentar o polinômio em forma monicamente positiva, multiplicamos por -1:
p(lambda)=lambda^3-lambda^2+2lambda+28

Resposta

O polinômio característico é
boxed,lambda^3-lambda^2+2lambda+28,

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