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Verifique que a matriz A=[ll1 & 2 3 & 2] é raiz do polinômio f(t)=t^2-3 t-4

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 1 & 2 [-6pt] 3 & 2
e o polinômio
f(t)=t^2 - 3t - 4
Para verificar que A é raiz de f, precisamos calcular
f(A) = A^2 - 3A - 4I
e mostrar que o resultado é a matriz nula. Aqui usamos a ideia de aplicar o polinômio a uma matriz, lembrando que o termo constante -4 vira -4 vezes a matriz identidade I.]

Passo 2

Calculamos primeiro o quadrado de A por multiplicação de matrizes:
A^2 = Acdot A = 1 & 2 [-3pt] 3 & 2 1 & 2 [-3pt] 3 & 2 = 1cdot1 + 2cdot3 & 1cdot2 + 2cdot2 [-6pt] 3cdot1 + 2cdot3 & 3cdot2 + 2cdot2 = 7 & 6 [-3pt] 9 & 10 ]

Passo 3

Agora obtemos os outros termos de f(A):
-3A = -3 1 & 2 [-3pt] 3 & 2 = -3 & -6 [-3pt] -9 & -6,
-4I = -4 1 & 0 [-3pt] 0 & 1 = -4 & 0 [-3pt] 0 & -4 ]

Passo 4

Somamos os três resultados:
A^2 ;+; (-3A);+;(-4I) = 7 & 6 [-3pt] 9 & 10 +-3 & -6 [-3pt] -9 & -6 +-4 & 0 [-3pt] 0 & -4 = 7-3-4 & 6-6+0 [-6pt] 9-9+0 & 10-6-4 = 0 & 0 [-3pt] 0 & 0
Portanto, f(A)=A^2-3A-4I é a matriz nula.]

Resposta

Como f(A)=0, concluímos que A é raiz do polinômio f(t)=t^2-3t-4.

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