Considere o operador linear
T: R^2 & R^2 (x, y) & mapsto(x+2 y, x-y)
e as bases B1=(-1,1),(1,0), B2=(2,-1),(-1,1) e C canônica. Determine [T]B1^K1,[T]B2^K2 e [T]C^C.

Passo 1

O enunciado pede as matrizes de representação de
TcolonR^2toR^2, T(x,y)=(x+2y,;x-y)
em três situações: na base canônica C, na base B1=(-1,1),(1,0) tanto no domínio quanto no contradomínio (denotada aqui por K1) e na base B2=(2,-1),(-1,1) tanto no domínio quanto no contradomínio (denotada por K2). Para isso usamos que cada coluna da matriz é a coordenada de T aplicado a um vetor da base do domínio, expresso na base do contradomínio.

Passo 2

Matriz na base canônica C: basta calcular
T(1,0)=(1,1), T(0,1)=(2,-1)
e montar a matriz cujas colunas são esses vetores em coordenadas canônicas:
[T] C^ C = 1 & 2 1 & -1

Passo 3

Matriz na base B1: primeiro aplico T aos vetores de B1:
T(-1,1)=(1,-2), T(1,0)=(1,1)
Agora expresso cada resultado como combinação de (-1,1),(1,0). Para (1,-2) resolvo
alpha,(-1,1)+beta,(1,0)=(1,-2)
que dá alpha=-2,;beta=-1. Para (1,1) resolvo
alpha,(-1,1)+beta,(1,0)=(1,1)
que dá alpha=1,;beta=2. Logo
[T] B1^ K1 = -2 & 1 -1 & 2

Passo 4

Matriz na base B2: aplico T aos vetores de B2:
T(2,-1)=(0,3), T(-1,1)=(1,-2)
Para (0,3) escrevo
alpha,(2,-1)+beta,(-1,1)=(0,3)
obtendo alpha=3,;beta=6. Para (1,-2) escrevo
alpha,(2,-1)+beta,(-1,1)=(1,-2)
obtendo alpha=-1,;beta=-3. Assim
[T] B2^ K2 = 3 & -1 6 & -3

Resposta

[T] C^ C=1 & 21 & -1
[T] B1^ K1=-2 & 1-1 & 2
[T] B2^ K2=3 & -16 & -3

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