Questão 2(L3-10 f): Sejam a, b, n, k in N tais que 0 <= k <= n. O coeficiente binomial ^3 é dado pela fórmula binomnk=n!k!(n-k)!, onde 0!=1 e(n+1)!=(n+1).n!. mostrar que:
(f) binomnk<binomnk+1 Leftrightarrow 0 <= k<12(n-1);

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para n,kinN com 0<= k<= n, vale
binomnk<binomnk+1 Long<=ftrightarrow 0<= k<n-12
O conteúdo que vamos usar é a definição
binomnk=n!k!,(n-k)!
e a análise do quociente
binomnk+1binomnk.

Passo 2

Vamos calcular o quociente das duas binomiais:
binomnk+1binomnk =n!(k+1)!,(n-k-1)!n!k!,(n-k)! =k!,(n-k)!(k+1)!,(n-k-1)! =n-kk+1
Esse passo usa as propriedades de fatorial: (k+1)!=(k+1)k! e (n-k)!=(n-k)(n-k-1)!.

Passo 3

Agora, binomnk+1>binomnk se, e somente se,
binomnk+1binomnk>1 Long<=ftrightarrow n-kk+1>1
Resolvendo a desigualdade:
n-k>k+1 Long<=ftrightarrow n>2k+1 Long<=ftrightarrow k<n-12

Passo 4

Concluímos que
binomnk<binomnk+1 Long<=ftrightarrow k<n-12
E como já consideramos 0<= k<= n, fica exatamente
binomnk<binomnk+1 Long<=ftrightarrow 0<= k<n-12

Resposta

Foi demonstrado que
binomnk<binomnk+1 Long<=ftrightarrow 0<= k<n-12

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