Considere as seguintes matrizes de ordem 2
A=(cc5 & 6 3 & -2)
B=(ll1 & -1 2 & -1)
C=(cc5 & -1 1 & 3)
É correto afirmar que:
a) C é diagonalizável e B não é diagonalizável.
b) B é diagonalizável e C não é diagonalizável.
c) A é diagonalizável e B não é diagonalizável.
d) A e B são diagonalizáveis e C não é diagonalizável.
e) Nenhuma das matrizes é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado dá três matrizes 2times2, A, B e C, e pergunta quais são diagonalizáveis sobre R. Vamos usar que uma matriz 2times2 é diagonalizável em R se, e somente se, tem dois autovalores reais distintos ou, no caso de autovalor duplo, a multiplicidade geométrica for 2.

Passo 2

Para A, calculamos
tr(A)=5+(-2)=3,
det(A)=5cdot(-2)-6cdot3=-10-18=-28.
O polinômio característico é
pA(lambda)=lambda^2-(tr(A))lambda+det(A) =lambda^2-3lambda-28
As raízes são
lambda=3pmraiz9+1122=3pm112, ou seja lambda1=7, lambda2=-4, distintos. Logo A é diagonalizável.

Passo 3

Para B, temos
tr(B)=1+(-1)=0,
det(B)=1cdot(-1)-(-1)cdot2=-1+2=1.
O polinômio característico fica
pB(lambda)=lambda^2+1,
cuja raízes são lambda=pm i, não reais. Portanto B não é diagonalizável sobre R.

Passo 4

Para C, calculamos
tr(C)=5+3=8,
det(C)=5cdot3-(-1)cdot1=15+1=16.
O polinômio característico é
pC(lambda)=lambda^2-8lambda+16=(lambda-4)^2,
autovalor duplo lambda=4. Resolvendo
(C-4I)x=1&-11&-1x=0
vem a única condição x1=x2, de modo que o espaço próprio é unidimensional. Como a multiplicidade geométrica (1) é menor que a algébrica (2), C não é diagonalizável.

Passo 5

Concluímos que A é diagonalizável e B e C não o são. A alternativa que afirma “ A é diagonalizável e B não é diagonalizável” é a (c).

Resposta

(c)

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