Considere o operador linear F: R^3 R^3 dada por
F(x, y, z)=(3 x-y,-x+2 y+z, x+y-z).
a) Encontre a dimensão do núcleo.
dim Ker(F)=square

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do núcleo de Fcolon R^3toR^3 definida por
F(x,y,z)=(3x - y,;-x + 2y + z,;x + y - z)
Para isso, vamos resolver o sistema homogêneo F(x,y,z)=0.

Passo 2

Escrevendo F(x,y,z)=0 em coordenadas, obtemos o sistema
3x - y = 0, -,x + 2y + z = 0, x + y - z = 0

Passo 3

Da primeira equação segue y=3x. Substituindo em -x+2y+z=0 e em x+y-z=0:
-,x + 2(3x) + z = 0 implies z = x - 6x = -5x,
x + (3x) - z = 0 implies z = 4x
Igualando -5x = 4x -9x=0, logo x=0. Então y=3cdot0=0 e z=4cdot0=0.

Passo 4

O único vetor que satisfaz é . Assim, , cujo espaço tem dimensão zero.

Resposta

Exercícios relacionados