Um operador linear
tem o núcleo e a imagem gerados pelos vetores
. Assim, devemos ter
Passo 1
O enunciado diz que
tem núcleo e imagem gerados pelos vetores
e
. Queremos encontrar
. Para isso vamos usar o Teorema do Núcleo e Imagem (ou Teorema da Dimensão).
Passo 2
Primeiro, determinamos
. Como o núcleo é gerado por
e
, e esses dois vetores são obviamente linearmente independentes, temos
Passo 3
Pelo Teorema do Núcleo e Imagem, vale
Passo 4
Substituindo
na relação acima, obtemos