Um operador linear T: R^4 R^4 tem o núcleo e a imagem gerados pelos vetores (1,1,0,0),(0,0,1,0). Assim, devemos ter
dim Im(T)=

Passo 1

O enunciado diz que T:R^4toR^4 tem núcleo e imagem gerados pelos vetores (1,1,0,0) e (0,0,1,0). Queremos encontrar dimIm(T). Para isso vamos usar o Teorema do Núcleo e Imagem (ou Teorema da Dimensão).

Passo 2

Primeiro, determinamos dimker(T). Como o núcleo é gerado por (1,1,0,0) e (0,0,1,0), e esses dois vetores são obviamente linearmente independentes, temos
dimker(T)=2

Passo 3

Pelo Teorema do Núcleo e Imagem, vale
dimker(T)+dimIm(T)=dimR^4=4

Passo 4

Substituindo dimker(T)=2 na relação acima, obtemos
2+dimIm(T)=4 Longrightarrow dimIm(T)=4-2=2

Resposta

,2

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