O operador linear T: R^3 R^3 tem seu núcleo gerado pelos vetores (1,1,0) e (0,0,1) e sua imagem gerada pelo vetor (1,-1,1). Admitindo que T(1,2,3)=(1,-1,1), obtenha T(x, y, z) e faça o que se pede:
c1) Calcule T(1,0,0)=
c2) Calcule T(0,1,0)= square.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T:R^3toR^3 com
— núcleo ker T=span(1,1,0),(0,0,1),
— imagem Im,T=span(1,-1,1),
e a condição T(1,2,3)=(1,-1,1).
Vamos achar primeiro uma forma geral para T usando a teoria de núcleos e funcionais lineares.

Passo 2

Como dimker T=2 e dimIm,T=1, existe um funcional linear L:R^3toR tal que
ker L=ker T
e
T(v)=L(v),(1,-1,1)
Basta encontrar L cuja equação vmid L(v)=0 seja o plano gerado por (1,1,0) e (0,0,1).

Passo 3

Um vetor normal ao plano span(1,1,0),(0,0,1) é
n = (1,1,0)times(0,0,1) = (1,-1,0)
Então L(v)=ncdot v = x - y. Verificamos ker L=(x,y,z)mid x-y=0, ou seja, x=y, que coincide com nosso núcleo.

Passo 4

Ajustamos agora a constante para satisfazer T(1,2,3)=(1,-1,1). Se usássemos L(v)=x-y, teríamos
T(1,2,3)=(1-2),(1,-1,1)=(-1,1,-1),
que é o oposto do desejado. Logo definimos
L(v)=-(x-y)=y-x
e
T(x,y,z) = (y-x),(1,-1,1)

Passo 5

Calculamos
T(1,0,0) = (0-1),(1,-1,1) = -1,(1,-1,1) = (-1,,1,,-1)

Passo 6

Calculamos
T(0,1,0) = (1-0),(1,-1,1) = 1,(1,-1,1) = (1,,-1,,1)

Resposta

c1) T(1,0,0)=(-1,,1,,-1)
c2) T(0,1,0)=(1,,-1,,1)

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