O operador linear
tem seu núcleo gerado pelos vetores
e
e sua imagem gerada pelo vetor
. Admitindo que
, obtenha
e faça o que se pede:
c1) Calcule
c2) Calcule
.
c1) Calcule
c2) Calcule
Passo 1
O enunciado dá um operador linear
com
— núcleo ,
— imagem ,
e a condição .
Vamos achar primeiro uma forma geral para usando a teoria de núcleos e funcionais lineares.
— núcleo
— imagem
e a condição
Vamos achar primeiro uma forma geral para
Passo 2
Como
e
, existe um funcional linear
tal que
e
Basta encontrar
cuja equação
seja o plano gerado por
e
.
Passo 3
Um vetor normal ao plano
é
Então
. Verificamos
, ou seja,
, que coincide com nosso núcleo.
Passo 4
Ajustamos agora a constante para satisfazer
. Se usássemos
, teríamos
que é o oposto do desejado. Logo definimos
e
Passo 5
Calculamos
Passo 6
Calculamos
Resposta
c1)
c2)
c2)