Verifique se as transformações abaixo são lineares:
f) F: R^2 R^2, F(x, y)=(0, y) square

Passo 1

O enunciado define a transformação
Fcolon R^2 to R^2, F(x,y) = (0,y),
e pede para verificar se F é linear. Para isso vamos usar a definição: uma transformação F é linear se, para todos u,vinR^2 e todo escalar alpha, valem
  1. F(u+v)=F(u)+F(v) (aditividade)
  2. F(alpha,u)=alpha,F(u) (homogeneidade)

Passo 2

Verificação da aditividade. Seja u=(x1,y1) e v=(x2,y2). Então
u+v=(x1+x2,;y1+y2),
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F(u+v)=F(x1+x2,;y1+y2) = (0,;y1+y2)
Por outro lado,
F(u) + F(v) = (0,y1) + (0,y2) = (0,;y1+y2)
Portanto
F(u+v)=F(u)+F(v)

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Seja alphainR e u=(x,y). Então
alpha,u = (alpha x,;alpha y),
e
F(alpha,u) = F(alpha x,;alpha y) = (0,;alpha y)
Como
alpha,F(u) = alpha,(0,y) = (0,;alpha y),
segue
F(alpha,u)=alpha,F(u)

Passo 4

Já que satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que é linear. Em termos de matriz, ela corresponde a
o que reforça que se trata de uma transformação linear.

Resposta

A transformação F(x,y)=(0,y) é linear.

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