Verifique se as transformações abaixo são lineares:
f)
f)
Passo 1
O enunciado define a transformação
e pede para verificar se
é linear. Para isso vamos usar a definição: uma transformação
é linear se, para todos
e todo escalar
, valem
-
(aditividade) -
(homogeneidade)
Passo 2
Verificação da aditividade. Seja
e
. Então
logo
Por outro lado,
Portanto
Passo 3
Verificação da homogeneidade. Seja
e
. Então
e
Como
segue
Passo 4
Já que
satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que
é linear. Em termos de matriz, ela corresponde a
o que reforça que se trata de uma transformação linear.
Resposta
A transformação
é linear.