Considere o operador linear L: R^3 R^3 dado por L(lx y z)=(lll1 & 0 & 1 1 & 1 & 2 2 & 1 & 3)(lx y z).
Avalie as afirmações abaixo em V (verdadeiro) ou F (falso):
L é injetora.

Passo 1

O enunciado nos dá o operador linear L:R^3toR^3 definido pela matriz
A = 1 & 0 & 1 1 & 1 & 2 2 & 1 & 3
e pede para avaliar se L é injetora. Para matrizes quadradas, sabemos que L é injetora se, e somente se, det Aneq0.

Passo 2

Vamos calcular o determinante de A. Temos
det A = 1 & 0 & 1 1 & 1 & 2 2 & 1 & 3 =1cdot1 & 21 & 3 -0cdot1 & 22 & 3 +1cdot1 & 12 & 1
Agora,
1 & 21 & 3=1cdot3-2cdot1=3-2=1, 1 & 12 & 1=1cdot1-1cdot2=1-2=-1
Logo
det A = 1cdot1 + 1cdot(-1) = 1 - 1 = 0

Passo 3

Como det A=0, a matriz A não é inversível, seu posto é menor que 3 e o núcleo de L é não trivial. Isso significa que L não é injetora.

Resposta

F

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