Considere a transformação linear T: R^2 R^3 dada por T(x, y)=(2 x-y, x+3 y,-x+y).
Avalie as afirmações abaixo como V (verdadeiro) ou F (falso):
dim Im(T)=3.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
;TcolonR^2toR^3,;T(x,y)=(2x-y,;x+3y,;-x+y)
e pede para avaliar se dimIm(T)=3.
Para isso vamos usar o Teorema da Dimensão (ou Teorema do Núcleo e Imagem) e, em seguida, confirmar calculando o posto (rank) da matriz de T.

Passo 2

Pelo Teorema da Dimensão, para toda aplicação linear de um espaço de dimensão n temos
dimIm(T)<= n. Aqui n=dimR^2=2, logo
dimIm(T)<=2<3
Portanto já concluímos que não pode ser igual a 3, ou seja, a afirmação é falsa.

Passo 3

Para confirmar, montamos a matriz de
cuja colunas são os vetores e . Verificamos se são independentes resolvendo
A única solução é . Assim
.

Resposta

F
(a dimensão do espaço-imagem é 2, não 3)

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