Considere a transformação linear
dada por
.
Avalie as afirmações abaixo como V (verdadeiro) ou F (falso):
.
Avalie as afirmações abaixo como V (verdadeiro) ou F (falso):
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
e pede para avaliar se .
Para isso vamos usar o Teorema da Dimensão (ou Teorema do Núcleo e Imagem) e, em seguida, confirmar calculando o posto (rank) da matriz de .
e pede para avaliar se
Para isso vamos usar o Teorema da Dimensão (ou Teorema do Núcleo e Imagem) e, em seguida, confirmar calculando o posto (rank) da matriz de
Passo 2
Pelo Teorema da Dimensão, para toda aplicação linear de um espaço de dimensão
temos
. Aqui
, logo
Portanto já concluímos que não pode ser igual a 3, ou seja, a afirmação é falsa.
Passo 3
Para confirmar, montamos a matriz de
cuja colunas são os vetores
e
. Verificamos se são independentes resolvendo
A única solução é . Assim
Resposta
F
(a dimensão do espaço-imagem é 2, não 3)
(a dimensão do espaço-imagem é 2, não 3)