Considere o operador linear L: R^3 R^3 dado por L(lx y z)=(lll1 & 0 & 1 1 & 1 & 2 2 & 1 & 3)(lx y z).
Avalie as afirmações abaixo em V (verdadeiro) ou F (falso):
beta=(-1,-1,1) é uma base para o Núcleo de L

Passo 1

O enunciado define o operador linear L:R^3toR^3 dado pela matriz
A=1&0&11&1&22&1&3
e pede para verificar se beta=(-1,-1,1) é uma base do núcleo de L. O conteúdo aqui é encontrar ker(L) resolvendo um sistema linear homogêneo.

Passo 2

Para calcular ker(L) resolvemos
L(x,y,z)=0Long<=ftrightarrow x+z=0, x+y+2z=0, 2x+y+3z=0

Passo 3

Da primeira equação x+z=0 segue x=-z. Substituindo em x+y+2z=0 obtemos
-z+y+2z=0implies y+z=0implies y=-z
A terceira equação é consequência das duas primeiras, então a solução geral é
(x,y,z)=(-z,,-z,;z)=z,(-1,-1,1), zinR

Passo 4

Portanto
ker(L)=span(-1,-1,1)
e tem dimensão 1. Logo (-1,-1,1) é de fato uma base de ker(L).

Resposta

V

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